Гиперболические функции

По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул

sinx = (e^xi — e^—xi)/2i, cosx = (e^xi + e^—xi)/2

(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений

sinhyp x = (e^x — e^—x)/2, coshyp x = (e^x + e^—x)/2.

Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.

Черт. 3.

Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора

но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде

x² + y² = 1,

а уравнение гиперболы в виде

x² — y² = 1;

отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение

coshyp²x — sinhyp²x = 1,

аналогичное с тригонометрическим

cos²x + sin²x = 1.

Черт. 4.

Кроме того, можно вводить функцию

tghypx = sinhypx/coshypx.

Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:

sinhyp(x + y) = sinhypx×coshypy + coshypx×sinhypy

и

coshyp(x + у) = coshypx×coshypy — sinhypx×sinhypy.

Д. Гр.