Квадрупольный момент

В теории поля представление системы зарядов в виде некоторых квадрупо́лей, аналогично представлению её в виде системы диполей, используется для приближённого расчёта создаваемого ей поля и излучения. Более общим представлением является разложение системы на мультиполи, соответствующее разложению потенциалов в ряд Тейлора по некоторым переменным. Квадруполь — частный случай мультиполя. Квадрупольное рассмотрение системы оказывается особенно важным в том случае, когда её дипольный момент и заряд равны 0.

Электрический квадруполь

Квадруполь

Электрический квадруполь (от лат. quadrum — четырёхугольник, квадрат и греч. pólos — полюс), система заряженных частиц, полный электрический заряд и электрический дипольный момент которой равны нулю. Квадруполь можно рассматривать как совокупность двух одинаковых диполей с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (см. рис.). На больших расстояниях R от квадруполя напряженность его электрического поля E убывает обратно пропорционально четвёртой степени R $\ (E \sim 1/R^4)$, а зависимость E от зарядов и их расположения описывается в общем случае набором из пяти независимых величин, которые, вместе составляют квадрупольный момент системы. Квадрупольный момент определяет также энергию квадруполя во внешнем электрическом поле. Квадруполь является мультиполем 2-го порядка.

Квадрупольный момент (произвольной) системы зарядов является тензором 2-го ранга в $\R^3$. Он представляется интегралом по пространству

$\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \iiint\limits_V \rho(x,y,z) (3 x_\alpha x_\beta - R^2 \delta_{\alpha \beta}) dV$,

где ρ(x,y,z) — плотность зарядов в данной точке, R — модуль радиус-вектора, (x₁,x₂,x₃) = (x,y,z), α,β = 1,2,3 — индексы, нумерующие координаты.

Тензор квадрупольного момента симметричен:

$\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \mathcal{D}_{\beta \alpha}$

Его след равен нулю:

$\mathcal{D}_{\alpha \alpha} = 0$

Здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании.

Если полный заряд системы и её дипольный момент равны 0, то квадрупольный момент не зависит от выбора начала координат. В противном случае необходимо также указывать центр квадруполя — начало координат при его вычислении.

Поле квадруполя

На больших расстояниях поле любой системы зарядов, дипольный момент которой равен 0, выглядит как поле некоторого квадруполя, возможно, изменяющегося со временем. Рассмотрение системы как некоторого квадруполя может также иметь смысл при неравном нулю дипольном моменте системы, если раскладывать создаваемый потенциал в ряд по мультиполям. Квадрупольное излучение системы на больших расстояниях равно (в СГС)

$I = \frac{1}{180 c^5} \left( \frac{\partial^3 D_{\alpha\beta}}{\partial t^3} \right)^2$

Здесь c — скорость света, I — полная мощность излучения. Во многих случаях достаточно считать, что излучение системы складывается из дипольного, квадрупольного и магнитодипольного.

Квадрупольный потенциал имеет вид

$\varphi^{(2)} = \frac{D_{\alpha\beta}}{6} \frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} \frac{1}{R} = \frac{D_{\alpha\beta}x_\alpha x_\beta}{2R^5}$

Здесь x_α = (x₁,x₂,x₃) — радиус-вектор точки, в которой берётся потенциал, относительно центра квадруполя. $\varphi^{(2)}$ является вторым членом разложения потенциала в ряд по расстоянию до начала координат.

Магнитный квадруполь

Гравитационный квадруполь

См. также

• Диполь
• Мультиполь

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7 — § 41.