Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где $a \ne 0.$

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,~b,~c$ может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$       (1)

• при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x = \frac{-b}{2a};$

• при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.$

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,$

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.$

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Теорема Виета

Основная статья: Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1x_2 = q.$

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

$x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.$

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

$~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

• Сведением к квадратному уравнению решается уравнение четвёртой степени (как в общем случае, так и в простейших: биквадратное уравнение, возвратное уравнение четвёртой степени).

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]