Локсодрома

Локсодрома от полюса до полюса

Локсодрома или локсодромия — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом. Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1530 году^[1]. Формулы, задающие локсодрому сферы в декартовой системе координат, имеют вид:

$x=r\frac{\cos\lambda}{\mathrm{ch}[m(\lambda-\lambda_0)]};$

$y=r\frac{\sin\lambda}{\mathrm{ch}[m(\lambda-\lambda_0)]};$

$z=r\,\mathrm{th}[m (\lambda-\lambda_0)].$

В геодезии и картографии

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели и все меридианы. Остальные локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или эллипсоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией^[2]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов^[3].

Построение локсодромы сферы

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Для того чтобы на полетных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол a может быть вычислен по формуле:

tg α = ((λ₂ — λ₁) / (φ₂ — φ₁)) cos φ_ср, где α — искомый путевой угол; φ₁ и φ₂ — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах дуги; λ₁ и λ₂ — долготы этих пунктов, выраженные в минутах дуги; φ_ср — средняя широта перелета в градусах.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол a при полете из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты: — Реймса φ₁ = 49°15' = 2955'; λ₁ = 4°02'.= 242'; — Потсдама φ₂ = 52°24' = 3144'; λ₂ = 13°04' = 784'; средняя широта φ_ср = 50°50'; cos 50°50' = 0,6316. Следовательно, tg α = ((784—242) / (3144 — 2955))*0,6316 = 1,806 α = 61°.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвертой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам: а) Для углов α, близких к 0° или 180°, S = 1,852*(φ₂ — φ₁) / cos α, где φ₁ и φ₂ — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в морских милях (минутах), или S = 111,18*(φ₂ — φ₁) / cos α где φ₁ и φ₂ выражены в градусах. Решая предыдущий пример по первой формуле, получим: S = 1,852*(3144 — 2955) / 0,4848 @ 722 км. б) Для углов α, близких к 90° или 270°, S = ((l2 — l1) / sin α) cos φ_ср * 1,852. Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полете вдоль параллели.

Примечания

1. ↑ Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
2. ↑ Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
3. ↑ Для экономии топлива и сокращения времени в пути.

Ссылки

• Онлайн калькулятор: Путевой угол и расстояние между двумя точками по локсодроме (линии румба)