Линейчатая поверхность

Линейчатый геликоид

Линейчатый гиперболоид

Гиперболический параболоид

В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если $p(u)$ ― радиус-вектор направляющей, a $m=m(v)$ ― единичный вектор образующей, проходящей через $p(u)$, то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

$r=p(u)+vm(u),$

где $v$ ― координата точки на образующей.

Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
• Гауссова кривизна линейчатой поверхности $K \leq 0$.
• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность $F$, не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность $F'$, то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.
• Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.

Литература

• Линейчатые поверхности // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.