Дарбу вектор

Вектор Дарбу́ — направляющий вектор $\boldsymbol{\delta}$ мгновенной оси вращения, вокруг которой сопровождающий триэдр кривой L поворачивается при равномерном движении точки M по кривой L. Вектор Дарбу лежит в спрямляющей плоскости кривой L и выражается через единичные векторы главной нормали $\boldsymbol n$ и касательной $\boldsymbol t$ к кривой L:

$\boldsymbol{\delta} = \sqrt {\tau ^2 + \sigma ^2}(\boldsymbol{t}\cos \Theta +\boldsymbol{n} \sin \Theta),$

где $~\tau$ и $~\sigma$ — кривизна и кручение L, $~\Theta$ — угол между вектором Дарбу и касательной к L. С помощью вектора Дарбу формулы Френе могут быть записаны в виде:

$\boldsymbol t' =[\boldsymbol \delta,~\boldsymbol t],\; \boldsymbol n' = [\boldsymbol \delta,~\boldsymbol n],\; \boldsymbol b' = [\boldsymbol \delta,~\boldsymbol b],$

где $\boldsymbol b$ — бинормаль L, а штрихи означают производные по параметру-дуге.

Применительно к сопровождающему триэдру пространственной кривой вектор Дарбу в его геометрическом значении впервые указан Г. Дарбу.

Литература

• Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces..., pt 1, P., 1887-1896, livre 1, ch. 1, p. 1—18
• Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.