- Граф Мура
-
Граф ХивудаГраф МакджиГраф ЛевиГраф Гофмана-Синглтона
n-клетка — кубический граф обхвата n с наименьшим возможным числом вершин. для каждого 2 < n < 9 существует единственная n-клетка, причем все эти графы обладают высокой симметрией (являются унитранзитивными). Кроме того, при изображении на плоскости они часто дают экстремальное количество самопересечений, далее индекс самопересечения см. [1]
- 3-клетка - К4, остов тетраэдра, 4 вершины.
- 4-клетка — К3,3, один из двух минимальных не планарных графов, 6 вершин.
- 5-клетка — Граф Петерсена, 10 вершин. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 2.
- 6-клетка — Граф Хивуда, 14 вершин. Разбивается на 1-факторы (то есть, реберно раскрашиваем), любая сумма двух факторов образует гамильтонов цикл. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 3.
- 7-клетка — Граф Макджи, 24 вершины. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 8.
- 8-клетка — Граф Леви, 30 вершин.
Содержание
Обобщенное определение
(r,n)-клетка — регулярный граф степени r и обхвата n с наименьшим возможным числом вершин.
Тривиальные семейства
- (2,n)-клетками являются, очевидно, циклические графы Cn;
- (r-1,3)-клетки — полные графы Кr;
- (2r,4)-клетки — полные графы Кr,r;
Не тривиальные представители
- (7,5)-клетка — Граф Гофмана-Синглтона, 50 вершин.
Известны еще некоторые клетки. В таблице ниже показано количество вершин в (r,n)-клетках степени 8 > r > 2 и обхвата 13 > n > 2. Клетки для этих и больших r и n описаны тут [1].
n: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 r = 3: 4 6 10 14 24 30 58 70 112 126 r = 4: 5 8 19 26 67 80 275 384 728 r = 5: 6 10 30 42 152 170 2730 r = 6: 7 12 40 62 294 312 7812 r = 7: 8 14 50 90 Графы Мура
Количество вершин в (r,n)-клетке больше или равно
для нечетных n и
для четных.
Если имеет место равенство, то соответствующий граф называется графом Мура. В то время как клетка существует для всяких r > 2 и n > 2, нетривиальных графов Мура гораздо меньше. Из вышеупомянутых клеток, графами Мура являются Граф Петерсена, граф Хивуда, граф Леви и граф Гофмана-Синглтона. Доказано,[2][3][4] что все нечетные случаи исчерпываются n = 5, r = 2, 3, 7 и, возможно, 57, а четные n = 6, 8, 12.
Примечания
- ↑ http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/cages/allcages.html (англ.)
- ↑ Bannai, E. and Ito, T. "On Moore Graphs." J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A 20, 191-208, 1973
- ↑ Damerell, R. M. "On Moore Graphs." Proc. Cambridge Philos. Soc. 74, 227-236, 1973
- ↑ Hoffman, A. J. and Singleton, R. R. "On Moore Graphs of Diameter 2 and 3." IBM J. Res. Develop. 4, 497-504, 1960
Литература
- Ф. Харари Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с — ISBN 5-354-00301-6.
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.