Граничные условия второго рода

Зада́ча Не́ймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние.

Внутренняя задача Неймана

Внутренняя задача Неймана заключается в нахождении гармонической в ограниченной области G функции u, $u\in C^2(G)\cap C^1(\overline{G})$, и удовлетворяющей на границе области G следующему краевому условию:

$\frac{\partial u(x)}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial G}=u_1,\ u_1\in C(\partial G),$

где n — внешняя единичная нормаль к границе области G.

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

$\int\limits_{\partial G}u_1(x)dS_x=0, \qquad \qquad (*)$

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.

Внешняя задача Неймана

На неограниченных областях G в постановке задачи Неймана добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции u. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности n>2 единственно, если на бесконечности функция u→0. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

См. также

• Начальные и граничные условия
• Задача Дирихле
• Краевая задача
• Теория потенциала

Литература

В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3