Геодезический поток

Геодезическим потоком на многообразии $M$ называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении $TM$, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор $v$ за время $t$ сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время $t$, оставаясь касательным к этой геодезической.

В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении $TM$, а не на самом многообразии $M$.

Часто рассматривают геодезический поток на пространстве $T_1 M$ единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).

Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.

Примеры

• Как и было сказано выше, для ${\mathbb{R}}^n$ со стандартной Евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:

$\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).$

• Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
• Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода $g>1$, снабжённой метрикой Пуанкаре.

См. также

• Геодезическая
• Принцип Ферма
• Орициклический поток

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.