Волны Лява

Волны Лява — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной так и поверхностной. Названа в честь Лява (англ. Love) исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году^[1].

Описание

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию, а именно в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

$U_y=A\textrm{exp}[i(k_tx-\omega t)],$

где k_t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение не представляет интереса. Если полупространство заполненное однородной изотропной средой покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой^[2].

Изотропная среда

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ_i, уравнение движения для смещений U можно записать в виде^[2]

$\rho_i\frac{\partial^2 \textbf{U}^i}{\partial t^2}=\mu_i\Delta\textbf{U}^i,$

(1)

где для поперечной волны U=(0,U_y,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала заполняющего пространство z>h. Полное решение этого уравнения зада.тся в виде

$U_y^{(1)}=(B\sin{s_1z}+C\cos{s_1z})\exp{[i(kx-\omega t)]},$

(2.1)

$U_y^{(2)}=A\exp{(-s_2z)}\exp{[i(kx-\omega t)]},$

(2.2)

где $s_{1}=\sqrt{k_{t1}^2-k^2}$, $s_{2}=\sqrt{k^2-k_{t2}^2}$ Из граничных условий отсутсвия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательныйх смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которые имеют нетаивиальное решение при равенстве определителя системы нулю^[3]:

$\tan{s_1h}=\frac{\mu_2s_2}{\mu_1s_1},$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

$U_y^{(1)}=A\cos{s_1(z+h)}\exp{[i(kx-\omega t)]},$

(4.1)

$U_y^{(2)}=A\cos{s_1h}\exp{[i(kx-\omega t)-s_2z]}.$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме то уравнение (3) имеет действительные решения лежашие в области $k_{t1}>k>k_{t2}$. Этих корней тем больше чем больше произведение $k_{t2}h$. В пределе малой толщины $k_{t2}h\rightarrow 0$ cуществует только одна волна Лява^[4]:

$U_y^{(1)}=A\exp{[i(kx-\omega t)]},$

(5.1)

$U_y^{(2)}=A\exp{[i(kx-\omega t)-s_2z]},$

(5.2)

$k=k_{t2}\left[1+\frac{1}{2}k_{t2}^2h^2\frac{\rho_1^2}{\rho_2^2}\left(1-\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)\right],$

(5.3)

$s_2=k_{t2}\left(1-\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)k_{t2}h\frac{\rho_1}{\rho_2}.$

(5.4)

Примечания

1. ↑ A. E. H. Love, «Some problems of geodynamics», first published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves)
2. ↑ ^{1 2} Викторов И. А., с. 22
3. ↑ Викторов И. А., с. 24
4. ↑ Викторов И. А., с. 25

Литература

• Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.