Версинус

Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся:

Определение тригонометрических функций через окружность. Отрезки CD и DE описывают соответственно версинус и эксеканс.

Графики версинуса, коверсинуса и гаверсинуса

• Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелкой дуги»). Определяется как $\operatorname{versin}\,\vartheta = 1 - \cos\vartheta = 2\sin^2\frac{\vartheta}{2}.$ Представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Иногда используются обозначения $\operatorname{vers}\,\vartheta, \quad \sin\,\operatorname{vers}\,\vartheta.$ C ним связаны ещё несколько функций:

• Косинус-верзус (другие написания: коверсинус, косинус версус). Определяется как $\operatorname{vercos}\,\vartheta = \operatorname{versin}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = 1 - \sin\vartheta.$ Иногда используются обозначения $\operatorname{cvs}\,\vartheta, \quad \cos\,\operatorname{vers}\,\vartheta.$

• Гаверсинус (англ. haversinus, сокращение от half the versed sine). Определяется как $\operatorname{haversin}\,\vartheta = \frac{\operatorname{versin}\,\vartheta}{2} = \sin^2\frac{\vartheta}{2}.$ Используется также обозначение $\operatorname{hav}\,\vartheta.$

• Эксеканс (англ. exsecant) или экссеканс. Определяется как $\operatorname{exsec}\,\vartheta = \sec\vartheta - 1.$

• Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу: $\operatorname{excsc}\,\vartheta = \operatorname{exsec}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = \operatorname{cosec}\,\vartheta - 1.$

Использование

Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов, поскольку они всюду неотрицательны, однако в связи с развитием вычислительных средств эта область применения неактуальна. В настоящее время эти функции используются для описания соответствующих сигналов в электронике (например, в функциональных генераторах). Гаверсинус также используется в навигационных расчётах для избежания ошибок округления в вычислительных системах с ограниченной разрядностью.

Ссылки

• Статьи в энциклопедии Mathworld, описывающие эксеканс, версинус, коверсинус, гаверсинус.
• Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере.
• Вычисление расстояния между двумя точками на сфере: использвание гаверсинуса в sql.