Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Классический пример гомеоморфизма: кружка и тор топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств (в силу непрерывности биекции, образы и прообразы отображения являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств).

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{T}_X)$ и $(Y,\mathcal{T}_Y)$ — два топологических пространства. Функция $f:X \to Y$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также $f$ и $f^{-1}$ непрерывны.

Пространства $X$ и $Y$ в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть $|a,b|\subset \mathbb{R}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Пример

Произвольный открытый интервал $(a,b) \subset \mathbb{R}$ гомеоморфен всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Гомеоморфизм $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ задаётся, например, формулой

$f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).$

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Зорич В.А., Математический анализ (т.2), М.:Наука, 1984, с. 41.

• Н. В. Тимофеева, Дифференциальная геометрия и элементы топологии (Лекция 2), Ярославский государственный педагогический университет (ЯГПУ), 2007.