- Абсолютное значение
-
1) Нормирование - от глагола "Нормировать" в первом значении : НОРМИРОВАТЬ, нормирую, нормируешь, сов. и несов., что. Регулировать что-н., установить (устанавливать) законные пределы чему-н., ввести (вводить) в норму. Нормировать зарплату. Нормировать работу. (Толковаый словарь русского языка под редакцией Ушакова.)
2) Норми́рование(мат.) - отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P x→|x|, обладающее следующими свойствами:
1)|x|≥0 и |x|=0 только при x=0
2)|xy| ≤ |x||y|
3)|x+y| ≤ |x|+|y|
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
3a)|x+y| ≤ max(|x|,|y|), то нормирование называется неархимедовым.
Значение | x | (иногда обозначаемое ) называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем действительных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.Содержание
Примеры нормирований
- Нормирование, при котором |0|=0, |x|=1 для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
- Обычная абсолютная величина в поле действительных чисел R или модуль в поле комплексных чисел C является нормированием.
- Пусть Q - поле рациональных чисел, а p - некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=apn/b, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование |x|p=p-n. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.
Свойства нормы
- |1|=|-1|=1
- | |x|-|y| |≤|x-y| (в этом случае абсолютная величина в упорядоченном поле P берётся от разности двух норм |x|-|y| элементов поля F)
- Действительнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F :
3b) |1+1+...+1|≤A
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:
|(x+y)n|=|xn+...Cnixnyi+...yn|≤(n+1)A(max(|x|,|y|)n
Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞ получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.
Нормированное поле как метрическое пространство
Из свойств 1-3 немедленно следует, что определяя расстояние между двумя элементами действительнозначного нормированного поля F как норму разности |x-y| мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.
Пополнение
Как и для любого метрического пространства можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм . Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: , причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.
Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Qp.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М: Наука. 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.2 — М: ИЛ. 1963.
- Ленг С. Алгебра — М: Мир. 1967.
См. также
- Теорема Островского
- Аппроксимационная теорема
Wikimedia Foundation. 2010.