Абсолютное значение


Абсолютное значение

1) Нормирование - от глагола "Нормировать" в первом значении : НОРМИРОВАТЬ, нормирую, нормируешь, сов. и несов., что. Регулировать что-н., установить (устанавливать) законные пределы чему-н., ввести (вводить) в норму. Нормировать зарплату. Нормировать работу. (Толковаый словарь русского языка под редакцией Ушакова.)


2) Норми́рование(мат.) - отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P  x→|x|, обладающее следующими свойствами:

1)|x|≥0 и |x|=0 только при x=0

2)|xy| ≤ |x||y|

3)|x+y| ≤ |x|+|y|

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a)|x+y| ≤ max(|x|,|y|), то нормирование называется неархимедовым.


Значение | x | (иногда обозначаемое ~||x||) называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем действительных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Содержание

Примеры нормирований

  • Нормирование, при котором |0|=0, |x|=1 для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле действительных чисел R или модуль в поле комплексных чисел C является нормированием.
  • Пусть Q - поле рациональных чисел, а p - некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=apn/b, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование |x|p=p-n. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы

  • |1|=|-1|=1
  • | |x|-|y| |≤|x-y| (в этом случае абсолютная величина в упорядоченном поле P берётся от разности двух норм |x|-|y| элементов поля F)
  • Действительнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F :

3b) |1+1+...+1|≤A

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:

|(x+y)n|=|xn+...Cnixnyi+...yn|≤(n+1)A(max(|x|,|y|)n

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞ получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что определяя расстояние между двумя элементами действительнозначного нормированного поля F как норму разности |x-y| мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм i:F \rightarrow F^*. Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: |i(x)|_{F^*}=|x|, причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Qp.

Литература

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М: Наука. 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.2 — М: ИЛ. 1963.
  • Ленг С. Алгебра — М: Мир. 1967.

См. также

  • Теорема Островского
  • Аппроксимационная теорема

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Абсолютное значение" в других словарях:

  • абсолютное значение — [Интент] Параллельные тексты EN RU The measured voltage value is displayed both as a per unit quantity referred to the nominal voltage of the P63x and as a primary quantity. [Schneider Electric] Измеренное значение напряжения отображается как в… …   Справочник технического переводчика

  • АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — (absolute value) См.: модуль (modulus). Экономика. Толковый словарь. М.: ИНФРА М , Издательство Весь Мир . Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М.. 2000 …   Экономический словарь

  • абсолютное значение — absoliučioji vertė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value vok. Absolutwert, m rus. абсолютное значение, n pranc. valeur absolue, f …   Fizikos terminų žodynas

  • АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — См. значение абсолютное …   Толковый словарь по психологии

  • АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ — на теле отображение тела Кв множество действительных чисел, удовлетворяющее условиям: А. з. часто обозначается вместо . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно… …   Математическая энциклопедия

  • абсолютное значение числа — модуль числа абсолютная величина числа — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] абсолютное значение Величина числа без учета его знака. Так, числа +18 и 18 имеют одно и то же абсолютное… …   Справочник технического переводчика

  • абсолютное значение погрешности — Значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности). Примечание. Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности. [РМГ 29 99] Тематики метрология, основные понятия EN absolute value of an error FR… …   Справочник технического переводчика

  • Абсолютное значение мощности побочных излучений — Значение уровня побочных излучений, выраженное в единицах мощности (мВт, мкВт), подаваемой в фидер антенны на частоте побочного излучения Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Абсолютное значение мощности побочных колебаний — Значение уровня побочных колебаний, выраженное в единицах мощности (мВт, мкВт) Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • абсолютное значение ошибки — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN absolute error …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «Абсолютное значение» >>