Функциональный ряд

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\ {u_k}(x)$.

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве $\ E$, включённом в d-мерное евклидово пространство $\ \mathbb{R}^d$.

$\ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N}$

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность $\ {u_k}(x)$ сходится поточечно к функции $\ {u}(x)$, если $\forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x)$.

Равномерная сходимость

Существует функция $\ u(x): E\mapsto\mathbb{C}$ такая, что: $\ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E$

Факт равномерной сходимости последовательности $\ {u_k}(x)$ к функции $\ u(x)$ записывается: $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

Функциональный ряд

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

$\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$

$\ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x)$ — n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность $\ {S_n}(x)$ его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность $\ {S_n}(x)$ его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows 0$

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности $\ {S_n}(x)$. Чтобы последовательность функций $\ {f_n}(x)$, определённых на множестве $V$, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого $\varepsilon>0$ существовал номер $N=N(\varepsilon)$, такой, что при всех $n, m$ больше либо равных $N$, одновременно для всех $x \in V$ выполнялось неравенство $\ \left|{f_n}(x) - \ {f_m}(x)\right| < \varepsilon$

Абсолютная и условная сходимость

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)$ называется абсолютно сходящимся, если $\sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid$ сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд $\sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится, а $\sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid$ расходится, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x)$ сходится равномерно.
2. $\ \mid{u_k}(x)\mid < {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}$

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда $\ {v_k}(x) = a_k$. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ монотонна $\ \forall x\in E$ и $\ {a_k}(x)\rightrightarrows 0$
2. Частичные суммы $\ {S_n}(x)$ ряда $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ равномерно ограничена и монотонна $\ \forall x\in E$.
2. Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве $\ E$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ u(x)$ непрерывна в $\ x_0$.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд $\ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ S(x)$ непрерывна в $\ x_0$.

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} u(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теорема о почленном интегрировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} S(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~u_k(c)$ сходится

$\ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x)$ на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)$ — непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$, $\ u'(x)=\omega(x)$ на $\ [a, b]$

Теорема о почленном дифференцировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c)$ сходится

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ равномерно сходится на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)$ — непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$, $\ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ на $\ [a, b]$

Ссылки

• О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды