Теорема о среднем в определённом интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда $\exists C\in[a,b]\;\;\int\limits_a^bf(x)dx = f(C)(b-a)$.

Доказательство

1. По свойству функции, непрерывной на отрезке, $\exists M,m$, такие что $\forall x\in[a,b]\;\;m \le f(x)\le M$.

2. По свойству определенного интеграла $\int\limits_a^bmdx \le \int\limits_a^bf(x)dx \le \int\limits_a^bMdx$, следовательно $m(b-a) \le \int\limits_a^bf(x)dx \le M(b-a)$, $m \le \frac{\int\limits_a^bf(x)dx}{b-a} \le M$. Обозначим дробь как $m^*$.

3. Так как непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения, а $m^*\in[m,M]$, то $\exists C\in[a,b]$, такая что $f(C) = \frac{\int\limits_a^bf(x)dx}{b-a} = m^*$ .

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.