Существенный супремум

Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.

Определение

Существенный супремум $\mathrm{ess }\sup$ функции $f: X \to \mathbb{R}$ — это наименьшее число $a$ такое, что

$f(x) < a, ~~x\in X$

почти всюду. Другими словами,

$\mathrm{ess } \sup f=\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) > a\}) = 0\}\,,$

где $\mu$ — мера на множестве $X$. Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

$\mathrm{ess } \inf f=\sup \{b \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) < b\}) = 0\}\,$

Примеры

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию f следующим образом

$f(x)= \begin{cases} 5, &x=1 \\ -4,&x = -1 \\ 2,&x\in \mathbb R\backslash\{-1,1\}\\ \end{cases}$

Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция f принимает эти значения только на множествах нулевой меры {1} и {−1} соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум f совпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

$f(x)= \begin{cases} x^3, & x\in \mathbb Q \\ \arctan{x} ,& x\in \mathbb R\backslash \mathbb Q \\ \end{cases}$

где Q обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны ∞ и −∞ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с arctgx. Следовательно, существенный супремум в данном случае есть π/2, а существенный инфимум есть -π/2.

Наконец, положим функцию f(x) = x³ определённой для всех вещественных x. Её существенный супремум есть +∞, а существенный инфимум −∞.

Свойства

• $\inf f \le \mathrm{ess } \inf f \le \mathrm{ess } \sup f \le \sup f$
• $\mathrm{ess }\sup (fg) \le (\mathrm{ess }\sup f)(\mathrm{ess }\sup g)$ когда оба сомножителя в правой части неотрицательны.

Ссылки

• Существенный супремум (англ.) на сайте PlanetMath.