Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильбета, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Пусть дана рациональная функция от $~n$ переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения

• Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом^[1] Более явные примеры таких многочленов был даны Моцкиным (англ.) в 1967 году.
  • Например, многочлены

    $f(x,y)=x^2y^2(x^2+y^2-3)+1,$

    $g(x,y,z)=z^6+x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2z^2$

не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,

$f(x,y)=\left(\tfrac{x^2y(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)^2 +\left(\tfrac{xy^2(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)^2+ \left(\tfrac{xy(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)^2+ \left(\tfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^2.$

• Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.^[2]
• С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
• Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по $~l_1$-норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.^[3]

Примечания

1. ↑ Hilbert, D. Uber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. ¨ Mathem. Annalen Bd 32, S. 342-350 (1888); см.также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 pp
2. ↑ V. Powers, T. Wormann (1998). «An algorithm for sums of squares of real polynomials». Journal of pure and applied algebra 127 (1): 99-104. DOI:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.
3. ↑ Jean B. Lasserre (2007). «A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials». SIAM Rev. 49 (4): 651-669. DOI:10.1137/070693709.

Литература

• Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
• В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
• C. N. Delzell (1984). «A continuous, constructive solution to Hilbert’s 17th problem». Invent. Math. 76 (3): 365—384. DOI:10.1007/BF01388465.