- Неравенство Гильберта — Варшамова
-
Неравенство Гильберта — Варшамова
Нера́венство Ги́льберта — Варша́мова определяет предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных). Иногда употребляется название неравенство Гильберта — Шеннона — Варшамова, а в русскоязычной научной литературе — неравенство Варшамова — Гильберта.
Содержание
Формулировка
Пусть
обозначает максимально возможную мощность q-чного кода C длины n и расстояния Хэмминга d (q-чным кодом является код с символами из поля , состоящего из q элементов).
Тогда
Когда q является степенью простого числа, можно упростить неравенство до , где k — наибольшее целое число, для которого .
Доказательство
Пусть C — код максимальной мощности при длине n и расстоянии Хэмминга d :
Тогда для любого существует по крайней мере одно кодовое слово , так что расстояние Хэмминга между x и cx удовлетворяет
потому как в противном случае мы могли бы расширить код с помощью слова x, оставив расстояние Хэмминга d неизменным, что противоречит предположению относительно максимальной мощности | C | .
Поэтому поле можно упаковать объединением множеств всех сфер радиуса d − 1 с центром в :
Объём каждого шара
потому что мы можем позволить (или выбрать) не более чем (d − 1)-му из n компонентов кодового слова принять одно из (q − 1) других возможных значений. Поэтому верно следующее неравенство
То есть
(подставив ).
Литература
- E. N. Gilbert. A comparison of signalling alphabets. Bell System Technical Journal, 31:504-522 [1], 1952.
- Варшамов Р. Р. Оценка числа сигналов в кодах с коррекцией ошибок. Доклады Академии наук СССР, 117(5):739-741 [1], 1957.
См. также
- Граница Синглтона
- Граница Хэмминга
- Граница Джонсона
- Граница Плоткина
Wikimedia Foundation. 2010.
Неравенство Гильберта-Варшамова — Неравенство Гильберта Варшамова определяет предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных). Иногда употребляется название неравенство Гильберта Шеннона Варшамова, а в русскоязычной научной литературе неравенство Варшамова … … Википедия
Неравенство Гильберта — Неравенство Гильберта Варшамова определяет предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных). Иногда употребляется название неравенство Гильберта Шеннона Варшамова, а в русскоязычной научной литературе … … Википедия
Неравенство Варшамова-Гильберта — Неравенство Гильберта Варшамова определяет предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных). Иногда употребляется название неравенство Гильберта Шеннона Варшамова, а в русскоязычной научной литературе неравенство Варшамова … … Википедия
Граница Плоткина — Граница Плоткина в теории кодирования определяет предел мощности двоичного кодa длины и минимального расстояния . Содержание 1 Формулировка … Википедия
Граница Синглтона — (названная в честь Р. К. Синглтона) устанавливает предел мощности кода с символами из поля длины и минимального расстояния Хэмминга . Пусть обозначает максимально возможную мощность ичного кода длины … Википедия
Граница Хэмминга — В теории кодирования граница Хэмминга определяет пределы возможных значений параметров произвольного блокового кода. Также известна как граница сферической упаковки. Коды, достигающие границы Хэмминга, называют совершенными или плотноупакованными … Википедия
Граница сферической упаковки — В теории кодирования граница Хэмминга определяет пределы возможных значений параметров произвольного блокового кода. Также известна как граница сферической упаковки. Коды, достигающие границы Хэмминга, называют совершенными или плотноупакованными … Википедия
Код Хэмминга — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия