Мода (физика)


Мода (физика)
Различные нормальные моды в 1D решётке.

Нормальные колебания или нормальные моды — набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой. Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.

Содержание

Нормальные колебания в молекулах

Общая теория

Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекулах является определённой функцией их координат  U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_N) . Эта функция в целом рассчитывается из квантовой механики в адиабатическом приближении или задаётся определёнными модельными потенциалами. Равновесные положение атомов в молекулах  \mathbf{r}_{i0} задаются условием минимума этой функции

\frac{\partial U}{\partial\mathbf{r}_i} = 0 .

Если вывести молекулу из равновесия так, что каждый атом сместится на некую величину  \delta \mathbf{r}_i , то в молекуле возникнут силы, которые постараются вернуть атомы в положение равновесия, а потенциальна энергия возрастёт и станет равной

 U(\mathbf{r}_1,\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_N)   = U_0 + \frac{1}{2}
\sum_{i,j=1}^N \sum_{\alpha,\beta =1}^3 a_{ij}^{\alpha\beta} \delta r_i^{\alpha}\delta r_j^{\beta} ,

где і и j — индексы атомов, α и β — индексы осей координат, U0 — потенциальная энергия молекуулы в положении равновесия, а коэффициенты  a_{ij}^{\alpha\beta} определяются разложением потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия.

 a_{ij}^{\alpha\beta} =  \frac {\partial^2 U}{\partial r_i^\alpha \partial r_j^\beta} \left|_{\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_{i0}} \right. + \frac {\partial^2 U}{\partial r_i^\alpha \partial r_i^\beta} \left|_{\mathbf{r}_j = \mathbf{r}_{i0}} \right.

Уравнения движения для смещённых из положения равновесия атомов имеют следующий вид:

 m_i \frac{d^2}{dt^2} \delta r_i^\alpha = - \sum_{j=1}^N \sum_{\beta = 1}^3  a_{ij}^{\alpha\beta} \delta r_j^{\beta} ,

где mi — масса i-того атома.

Если искать решения системы дифференциальных уравнений в виде

 \delta r_i^\alpha = b_i^\alpha e^{i\omega t } ,

то получим систему линейных уравнений

 m_i \omega^2 b_i^\alpha - \sum_{j=1}^N \sum_{\beta = 1}^3  a_{ij}^{\alpha\beta}  b_j^{\beta} = 0. \qquad (\text{A})

Всего таких уравнений 3N-6, где N — число атомов. 3 другие уравнения описывают движение центра массы молекулы, а ещё три — вращения молекулы, как целого[1] . Система однородная, а следовательно имеет нетривиальное решение лишь при определённых частотах, которые находятся, если приравнять нулю детерминант этой системы

  \left| m_i \omega^2 \delta_{ij} \delta_{\alpha\beta} -   a_{ij}^{\alpha\beta}  \right| =0,

где δij — символ Кронекера.

Данный детерминант является уравнением (3N-6)-ей степени относительно ω², которое называется вековым или секулярным уравнением. Его корни определяют спектр собственных частот колебаний молекулы.

Собственные векторы \mathbf{b}_i уравнения (A) определяют 3N-6 нормальных мод колебаний молекулы.

Нормальные моды взаимно линейно независимы и взаимно ортогональны:

 \sum_{i=1}^N \mathbf{b}_i^m \cdot \mathbf{b}_i^n = 0 ,

если  m \ne n , где m и n — индексы, которыми обозначены различные собственные векторы. Именно этой особенности нормальные моды обязаны своим названием.

Дипольный момент

Если известны нормальные моды, которые задаются векторами  \mathbf{b}_i^n , где индекс n — номер моды, а также частичные заряды атомов в молекулах, то можно образовать векторы:

 \mathbf{d}^n = \sum_i q_i \mathbf{b}_i^n ,

которые называются дипольными моментами нормальных мод.

Во внешнем электрическом поле, например, в поле электромагнитной волны, энергия диполя определяется формулой  \mathbf{E} \cdot \mathbf{d} . Поэтому те нормальные моды, которые имеют значительный дипольный момент сильно взаимодействуют с электромагнитными волнами (обычно инфракрасного диапазона). Те нормальные моды, для которых дипольного момента нет, или он очень мал, не поглощают и не излучают инфракрасные волны.

Например, симметричная молекула O2 не имеет частичного заряда на своих атомах, поэтому кислород в атмосфере не становится препятствием для распространения инфракрасных волн. В молекуле CO2 атомы кислорода несколько подтягивают электроны к себе от центрального атома углерода, поэтому все три атомы имеют небольшой частичный заряд. В молекуле углекислого газа (она линейная) есть три нормальные моды. Одна из них — это симметричные колебания атомов кислорода вдоль оси молекулы. Эта мода не имеет дипольного момента. Другая мода колебаний — асимметричные колебания атомов кислорода вдоль оси молекулы имает дипольный момент, как и третья мода, в которой молекула сгибается.

Источники

  • Федорченко А.М. . — Киев: Висшая школа, 1975., 516 с.


Примечания

  1. Для двухатомных молекул число уравнений равно 1, потому что вращение происходит только вокруг двух осей.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мода (физика)" в других словарях:

  • Мода (значения) — Мода: Мода  непродолжительное господство определённого вкуса в какой либо сфере жизни или культуры. Мода (статистика)  в теории вероятностей и статистике, одна из характеристик распределения; наиболее вероятное значение случайной… …   Википедия

  • Вселенная — Крупномасштабная структура Вселенной как она выглядит в инфракрасных лучах с длиной волны 2,2 мкм  1 600 000 галактик, зарегистри …   Википедия

  • Source — Engine …   Википедия

  • Деление ядра —     Ядерная физика …   Википедия

  • Source Engine — Логотип Source и скриншоты из игр Team Fortress 2 и Half Life 2: Episode Two …   Википедия

  • Source SDK — Source Engine Логотип Source и скриншоты из игр Team Fortress 2 и Half Life 2: Episode Two …   Википедия

  • Source engine — Логотип Source и скриншоты из игр Team Fortress 2 и Half Life 2: Episode Two …   Википедия

  • Valve Source Engine — Source Engine Логотип Source и скриншоты из игр Team Fortress 2 и Half Life 2: Episode Two …   Википедия

  • Электромеханический фильтр — ЭМФ советского производства, предназначенный для выделения нижней боковой полосы в аппаратуре радиосвязи с промежуточной частотой 500 кГц. Ширина полосы пропускания  3,1 кГц. Механическ …   Википедия

  • Соединённые Штаты Америки — (США)         (United States of America, USA).          I. Общие сведения          США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.