- Вариация Фреше
-
Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.
Содержание
Определение
Вариация Фреше определяется как:
где
— действительнозначная функция, заданная на
-мерном параллелепипеде
— произвольное разбиение параллелепипеда
гиперплоскостями
такими, что
-
,
и
,
- где
,
.
— шаг разбиения;
(
) — приращение функции по
-ой координате;
— обобщённое приращение функции по первым
координатам (
);
(
) произвольным образом.
Применение
Если
, то говорят, что функция
имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на
. Класс всех таких функций обозначается через
.
При
этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала
в пространстве непрерывных на квадрате
функций вида
. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
где
,
.
Позднее было показано, что для
-периодических функций класса
(
) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если
,
, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции
в каждой точке
сходятся к числу
где суммирование распространяется на все
возможных комбинаций знаков
. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.
Литература
- Канторович, Л. В., Акилов, Г. П. Функциональный анализ. — СПб: БХВ-Петербург, 2004. — 816 с. — ISBN 5-94157-597-1.
См. также
- Вариация функции
- Вариация Арцела
- Вариация Витали
- Вариация Пъерпонта
- Плоская вариация Тонелли
- Вариация Харди
Примечания
Категория:- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.