Альтернатива Фредгольма

Альтернати́ва Фредго́льма

Случай конечномерного пространства

Либо уравнение $\mathcal Az = u$ имеет решение при любой правой части $u \in W$, либо сопряжённое к нему уравнение $\mathcal A^*w=0$ имеет нетривиальное решение

Доказательство

Пусть $r = \operatorname{rg} \mathcal A, ~m = \operatorname{dim} W$. Возможны два случая: либо $r=m$, либо $r<m$. Условие $r=m$ равносильно условию $im \mathcal A = W$, которое означает, что уравнение $\mathcal Az = u$ имеет решение при любом $u \in W$. При этом так как $\operatorname{rg} \mathcal A = \operatorname{rg} \mathcal A^*$, то $\operatorname{ker} \mathcal A^* = \mathcal f 0 \mathcal g$ и уравнение $\mathcal A^*w=0$ не имеет ненулевого решения. Условие $r<m$ равносильно условию $\operatorname{def} \mathcal A^*>0$, которое означает существование ненулевого вектора $w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*$, то есть ненулевого решения $\mathcal A^*w=0$. При этом $\operatorname{im} \mathcal A \ne W$ и уравнение $\mathcal Az = u$ имеет решение не для любого $u \in W$.

Доказательство другим способом.

1. Пусть система (1), то есть A ⋅ X = B , имеет решение при любом B. В этом случае rgA = m, так как иначе при некотором B rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgA^T= rgA, то в этих условиях rgA^T = m, то есть равен числу неизвестных в системе(2) и эта система имеет только тривиальное решение.
2. Пусть теперь система A⋅X = B при некотором B несовместна. Следовательно rgA<m , значит и rgA^T<m, то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

Замечание

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора $\mathcal A$, действующего в одном пространстве $V$, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом $u \in V$, либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение.

Случай бесконечномерного Гильбертового пространства

Литература

• Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007. 400 с.