Уравнение Слуцкого

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

$x_i(p, \bar u) = x_i(p, e(p, \bar u)),$

$\frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} + \frac{\partial e(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} - x_j(\tilde p, \tilde I) \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I},$

где $\tilde p, \tilde I, \bar u$ — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название править] Матрица Слуцкого

Частные производные $s_{ij} = \frac{\partial x_i(p, u)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(p, I)}{\partial p_j} + x_j(p, I)\cdot\frac{\partial x_i(p, I)}{\partial I}$ могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: $s_{ij} = s_{ji}$ (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
2. Отрицательная полуопределенность;
3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: $S(p, I)\mathbf{p} = 0$.

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Ссылки

http://www.math.kemsu.ru/faculty/kmc/book/matekon/Chapter3/par3_7.html

http://50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=16&r=1&z=1

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5.