Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\mathbb V$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\mathbb V$ некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\mathbb V$, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\mathbb V$.

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной $\mathbf{r}(t)$ отображает некоторый интервал вещественных чисел $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты $\mathbf{{\hat{i}}}, \mathbf{{\hat{j}}}, \mathbf{{\hat{k}}}$, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

$\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{{\hat{i}}}+y(t)\mathbf{{\hat{j}}}+z(t)\mathbf{{\hat{k}}}$

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ имеет предел $\mathbf{r_0}$ в точке $t=t_0$, если $\lim_{t\to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}|= 0$ (здесь и далее $|\mathbf{v}|$ обозначают модуль вектора $\mathbf{v}$). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf{r}(t)$ по параметру:

$\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}$.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• $\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}$ — производная суммы есть сумма производных
• $\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$ — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• $\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• $\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right]$ — дифференцирование векторного произведения.
• $\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right)$ — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции $\mathbf{r}(u, v)$ (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)$ имеет вид:

$x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v)$

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: $\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}$. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём $\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right]$ не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

$u = u(t);\ v = v(t)$,

где t — параметр кривой. Зависимости $u(t),\ v(t)$ предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

$u = t;\ v = const$ — первая координатная линия.

$u = const;\ v = t$ — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ($\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right]$ нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Литература

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965.