Дифференциальное уравнение Бернулли

У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнение Бернулли.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$y'+ P(x)y = Q(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1$

называется уравнением Бернулли (при $n=0$ или $n=1$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При $n=2$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.^[1]

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

$y^n, \!$

получим

$\frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{-n+1} = b(x).$

Делая замену

$z = y ^ {-n+1}\!$

и дифференцируя, получаем:

$\frac{dz}{dx}=(-n+1)y^{-n} \frac{dy}{dx}.$

Это уравнение приводится к линейному:

$\frac{dz}{dx} + (-n+1)a(x) z = (-n+1)b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

$y = uv,\,$

тогда:

$\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n.$

Подберем $v(x) \not\equiv 0$ так, чтобы было

$\dot{v} + a(x) v = 0,\!$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения $u\!$ получаем уравнение $\frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

разделим на $\,y^2,$ получаем:

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2.$

Замена переменных

$w = \frac{1}{y}$

дает:

$w' = \frac{-y'}{y^2},$

$w' + \frac{2}{x}w = x^2.$

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.$

Умножаем на $M(x)$,

$w'x^2 + 2xw = x^4,\,$

$\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx$

$wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

$\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C.$

Результат:

$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.$

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания

1. ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.