Прямоугольная система линейных алгебраических уравнений

Определение

Для системы из $m$ уравнений с $n$ неизвестными ($m<=n$) любые $m$ переменных называются базисными, если определитель составленный из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля (остальные $n-m$переменных называются свободными).

Базисным решением системы уравнений называется такое решение при котором свободные переменные равны нулю.

Пример

$R^3\!\,$ — трехмерное пространство.

$\left\{ \begin{matrix} 2x_1+x_2+4x_3=1 \\ x_1+3x_2-2x_3=-1 \end{matrix} \right.$

$m=2; n=3; m \leqslant n \!\,$

$x_1, x_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5 \not= 0$ — $x_3\!\,$ (свободно)

$x_1, x_3 = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 4 = -8 \not= 0$ — $x_2\!\,$ (свободно)

$x_2, x_3 = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 12 = -14 \not= 0$ — $x_1\!\,$ (свободно)

Общее решение системы

$x_1, x_2$ - базисные, $x_3$ -свободная.

$2 x_1 + x_2 = 1 - 4 x_3$

$x_1 + 3 x_2 = - 1 + 2 x_3$

$x_1 = \frac {\begin{vmatrix} 1-4x_3 & 1 \\ -1+2x_3 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}}=\frac {3-12x_3+1-2x_3}{5}=\frac{4-14x_3}{5}=\frac{4}{5}-\frac{14x_3}{5}$

$x_2 = \frac {\begin{vmatrix} 2 & 1-4x_3 \\ 1 & -1+2x_3 \end{vmatrix}}{5}=-\frac{3}{5}+\frac{8x_3}{5}$

$X = (\frac{4}{5}-\frac{14x_3}{5};-\frac{3}{5}+\frac{8x_3}{5})$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.