- Теорема Кнастера — Тарского
-
Теорема Кнастера — Тарского
Теорема Кнастера-Тарского — теорема в теории множеств, впервые сформулированная в частном случае Брониславом Кнастером, и обобщённая Альфредом Тарским.
Формулировка
Частично упорядоченное множество
называется полным, если оно содержит наименьший элемент, и каждая цепь
в нём имеет наименьшую вехнюю грань. Функция
, где M и N — полные частично упорядоченные множества, называется непрерывной, если для всех цепей C из M
существует и равно
. В частности, непрерывная функция будет также монотонной. Элемент a полного частично упорядоченного множества
называется неподвижной точкой отображения
, если f(a) = a. Элемент
называется наименьшей неподвижной точкой, если он является наименьшей нижней гранью множества всех неподвижных точек в M.
(Ниже дана Теорема Канторовича! Теорема Кнастера-Тарского для монотонных, возможно прерывных, отображений. См. на английскую версию.)
Теорема Кнастера-Тарского утверждает, что любое непрерывное отображение f полного частично упорядоченного множества в себя имеет наименьшую неподвижную точку.
Применение
Теорема Кнастера-Тарского имеет большое значение в теоретической информатике и является мощным инструментом для описания денотационной семантики языков программирования. Например, не ограничивая общности, в большинстве случаев можно считать, что функциональная программа может быть представлена в виде системы рекурсивных уравнений:
где fi — частичные функции, а Φi — правильно построенные термы соответствующего языка программирования. Если предполагать Φi непрерывными, теорема Кнастера-Тарского гарантирует существование и единственность наименьшего решения, то есть функций. Наименьшесть в этом случае означает, что fi имеют самую широкую область определения по сравнению с другими решениями. Дальнейшее развитие эта идея получает в теории доменов.
Литература
- S. Abramsky, Dov M. Gabbay, T. S. E. Maibaum, Handbook of Logic in Computer Science: Volume 1: Background: Mathematical Structures
Wikimedia Foundation. 2010.
Теорема Кнастера — Бронислав Кнастер … Википедия
Теорема Кнастера-Тарского — … Википедия
Тарский, Альфред — Альфред Тарский Alfred Tarski Дата рождения … Википедия