Ряд Фурье

Добавление членов ряда Фурье

Ряд Фурье — представление произвольной функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k)$

Этот ряд может быть также переписан в виде

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x}$.

где

$A_k$ — амплитуда k-го гармонического колебания,

$2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega$ — круговая частота гармонического колебания,

$\theta_k$ — начальная фаза k-го колебания,

$\hat{f}_k$ — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Тригонометрический ряд Фурье

Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in L_2([-\pi,\pi])$ называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

(1)

где

$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$

$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,$

Числа $a_0$, $a_n$ и $b_n$ ($n = 1, 2, \ldots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию $f\in L_2([0,2\pi])$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$, $a_n$ и $b_n$. Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi,\pi]$, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$. Аналогично для $b_k$

Ряд (1) сходится к функции $f$ в пространстве $L_2([-\pi,\pi])$. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

$\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$. Здесь

$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx$.

Коэффициенты : $\hat{f}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

$\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0$

$\hat{f}_0 = a_0/2$

$\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0$

$a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0$

$b_k = -i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0$

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения $\hat{f}_k$ и $\hat{f}_{-k}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^2[-\pi,\pi]$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ в гильбертовом пространстве $R$ и $f$ — произвольный элемент из $R$. Предположим, мы хотим представить $f$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{\varphi_k\}$:

$f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n$

Домножим это выражение на $\varphi_k$. С учётом ортогональности системы функций $\{\varphi_k\}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$:

$(f, \varphi_k) = c_k||\varphi_k||^2$

Последовательность чисел

$c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{||\varphi_k||^2}$

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{\varphi_k\}$, а ряд

$\sum_k c_k \varphi_k$

называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{\varphi_k\}$.

Ряд Фурье любого элемента $f$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве $R$, но его сумма не обязательно равна $f$. Для ортонормированной системы ${\varphi_k}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в $R$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого $f\in R$ выполнено равенство Парсеваля

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2$.

• линейные комбинации элементов $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ плотны в пространстве $R$.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2$

Примеры  

Тригонометрические функции $\sin(kx)$, $\cos(kx)$ образуют базис гильбертова пространства $L_2[-\pi,\pi]$. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций $\cos(kx)$ - это все четные функции из $L_2$, а замыкание линейной оболочки функций $\sin(kx)$ - все нечетные функции. Результатом разложения функции $f$ в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции $f$:

$\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$

$\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$. Эта система вновь не будет полной. Замыкание ее линейной оболочки — пространство Харди $H_2$. Элементы этого пространства -- те и только те функции $f\in L_2$, что $f(t)=g(e^{it})$, где $g$ — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге $|z|<1$

Двойственность Понтрягина

Основная статья: Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через $S_N(f,x)$ частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$:

$S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}$.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_N(f,x)$ к функции $f(x)$ в различных смыслах. Функция $f$ предполагается $2\pi$-периодической (если она задана только на промежутке $[-\pi,\pi]$, её можно периодически продолжить).

• Если $f\in L_2([-\pi,\pi])$, то последовательность $S_N(f,x)$ сходится к функции $f(x)$ в смысле $L_2$. Кроме того, $S_N(f,x)$ являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_2$) приближением функции $f$ тригонометрическим многочленом степени не выше $N$.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_0$ — локальное свойство, то есть, если функции $f$ и $g$ совпадают в некоторой окрестности $x_0$, то последовательности $S_N(f,x_0)$ и $S_N(g,x_0)$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
• Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_0)$. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$ задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке $x_0$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_0)$. Это следует из того, что для непрерывной в $x_0$ функции $f$ последовательность $S_N(f,x_0)$ сходится по Чезаро к $f(x_0)$.
• Если функция $f$ разрывна в точке $x_0$, но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_0+0)\neq f(x_0-0)$, то при некоторых дополнительных условиях $S_N(f,x_0)$ сходятся к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если $f\in L_2([-\pi,\pi])$, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$. Однако, существуют функции из $L_1([-\pi,\pi])$, ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
• Зафиксируем точку $x_0\in(-\pi,\pi)$. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-\pi,\pi])$. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана-Лебега (англ.)).
• Если функция $f$ принадлежит классу $C^{(k)}([-\pi,\pi])$, то есть дифференцируема $k$ раз и её $k$-я производная непрерывна, то $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$
• Если ряд $\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$ сходится абсолютно, то $f\in C^{(k)}([-\pi,\pi])$ при всех $k<\alpha$.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\alpha>1/2$, то ряд $\sum \hat{f}_n$ сходится абсолютно (Теорема Бернштейна).
• Если $\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1$, то функция $f$ является аналитической. Верно и обратное.

^{[источник не указан 1083 дня]}

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС теорема

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.