L-функция Дирихле

L-функция Дирихле $L_{\chi}(s)$ — комплексная функция, заданная при $\operatorname{Re}\,s>0$ (при $\operatorname{Re}\,s>1$ в случае главного характера) формулой

$L_{\chi}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}$,

где $\chi(n)$ — некоторый числовой характер (по модулю k). $L$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства $L_\chi(1)\neq 0$ для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле

В силу мультипликативности числового характера $\chi$ $L$-функция Дирихле представима в области $\operatorname{Re}\,s>1$ в виде эйлерова произведения по простым числам:

$L_{\chi}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$.

Эта формула обусловливает многочисленные применения $L$-функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией

$L$-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана $\zeta(s)$ формулой

$L_{\chi_0}(s)=\zeta(s)\prod_{p|k}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)$.

Эта формула позволяет доопределить $L_{\chi_0}(s)$ для области $Re(s)>0$ c простым полюсом в точке $s=1$.

См. также

• Ряд Дирихле

Литература

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.