Теорема о биссектрисе

$BD:CD = AB:AC$.

Теорема о биссектрисе — одна из теорем геометрии.

Описание

Теорема о биссектрисе формулируется следующим образом:

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Существует обобщённая теорема для случая, если D — произвольная точка на BC, тогда

${\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}.$

В случае, когда AD — биссектриса, $\sin \angle DAB = \sin \angle DAC$.

Идея элементарного (т.е. не использующего фактов из следующих классов школьной программы) доказательства следующая:

Построим $BE||AD$ до пересечения с $AC$. Из соотношения углов при параллельных прямых $AB=AE$. Тогда по теореме Фалеса для секущих CE и CB получаем требуемое соотношение:

$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$

Похожая теорема справедлива для двугранного угла тетраэдра (необязательно правильного): биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла^[1]:200. Таким образом, тетраэдр здесь можно рассматривать как пространственный аналог треугольника, его двугранный угол — угла треугольника, биссекторную плоскость — биссектрисы, площади граней тетраэдра — длин боковых сторон сторон треугольника, противоположное ребро тетраэдра — противоположной стороны треугольника.

История

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III)^[2], в частности, на греческом языке в византийском манускрипте^[3]. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21), составленной в 1625 году Елизарьевым и хранящейся в Государственном историческом музее^[4][5].

Применения

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

1. ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
2. ↑ Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, 11-я и 12-я, содержащие в себе основания геометрии. / Пер. Ф. Петрушевского. — СПб., 1819. — С. 205. — 480 с.
3. ↑ Теорема о биссектрисе в византийском манускрипте
4. ↑ Текст цитаты см. в: Белый Ю.А., Швецов К.И. Об одной русской геометрической рукописи первой четверти XVII в // Историко-математические исследования. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — В. 12. — С. 214.
5. ↑ История отечественной математики. В 4-х т. / Отв. ред. И. З. Штокало. — Киев: Наукова думка, 1966. — Т. 1. С древнейших времен до конца XVIII в.. — С. 129. — 492 с.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 18-19.

Для улучшения этой статьи желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).