- Теорема Фалеса
-
- Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему.
Теорема Фалеса — одна из теорем планиметрии.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также неважно, где находятся отрезки на секущих.
Доказательство в случае секущихРассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые и при этом .
- Проведём через точки и прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма и . Согласно свойству параллелограмма: и .
- Треугольники и равны на основании второго признака равенства треугольников:
- согласно условию теоремы,
- как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных и прямой BD.
- Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих.
- как соответственные элементы в равных треугольниках.
- ■
Доказательство в случае параллельных прямыхПроведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует обобщённая теорема Фалеса:
-
- Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:
Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Содержание
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Вариации и обобщения
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:
Пусть — проективное соответствие между точками прямой и прямой . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
Пусть — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых будет коника (возможно, вырожденная).
Теорема Фалеса в культуре
Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни[1] приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.
Интересные факты
- Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
- Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.
Литература
- Атанасян С.Л. Геометрия 7-9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.
Примечания
Категории:- Планиметрия
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.