Оператор набла

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом $\nabla$ (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах^[1] оператор набла определяется следующим образом:

$\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}$,

где $\vec i, \vec j, \vec k$ — единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ $\nabla$ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами ${\partial\over\partial x_1},\;{\partial\over\partial x_2},\;\ldots,\;{\partial\over\partial x_n}$ в n-мерном пространстве^[2].

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: $\vec \nabla$ — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного $\nabla$.

• Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

• Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор $\nabla$ на скаляр $\phi$, то получится вектор

$\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k}$,

который представляет собой градиент функции $\phi$.

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор $\vec{a}$, получится скаляр

$\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z}$,

то есть дивергенция вектора $\vec{a}$.

Если $\nabla$ умножить на $\vec{a}$ векторно, то получится ротор вектора $\vec{a}$:

$\nabla \times \vec a ~=~ (\partial_y a_z - \partial_z a_y)\vec i ~+~ (\partial_z a_x - \partial_x a_z)\vec j ~+~ (\partial_x a_y - \partial_y a_x)\vec k$

• Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо $\nabla \cdot \vec a$ нередко пишут $(\nabla, \vec a)$, а вместо $\nabla \times \vec a$ пишут $[\nabla,\vec a]$; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение $\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$ есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также $\ \Delta$. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}$.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

$\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi$

$\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi$

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

$\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla$

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

$\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)$

$\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)$

$\Delta f = \nabla^2 f$

$\mbox{grad}\,(\mbox{div}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)$

$\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)$

$\mbox{rot}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)$

$\Delta \vec v = \nabla^2 \vec v$

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

$\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0$

$\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0$

Два всегда совпадают:

$\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f$

Три оставшихся связаны соотношением:

$(\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}$

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

$\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})$

Отличия оператора набла от обычного вектора

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием $\nabla$ не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

$\nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla$,

ведь $\nabla \cdot \vec v$ — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а $\vec v \cdot \nabla$ представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля $\vec {v}$.

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

$(\nabla \cdot \vec v) f \ne (\vec v \cdot \nabla) f$

так как

$(\nabla \cdot \vec v) f = \left( \frac{\part v_x}{\part x}+\frac{\part v_y}{\part y}+\frac{\part v_z}{\part z} \right)f = \frac{\part v_x}{\part x}f+\frac{\part v_y}{\part y}f+\frac{\part v_z}{\part z}f$

$(\vec v \cdot \nabla) f = \left( v_x \frac{\part}{\part x}+v_y \frac{\part}{\part y}+v_z \frac{\part}{\part z} \right) f = v_x \frac{\part f}{\part x}+v_y \frac{\part f}{\part y}+v_z \frac{\part f}{\part z}$

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение $(\vec v,\ \nabla,\ \vec v) \equiv \vec v \cdot (\nabla \times \vec v)$ было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

$(\nabla x) \times (\nabla y) = \left( \vec i \, \frac{\part x}{\part x}+\vec j \, \frac{\part x}{\part y}+\vec k \, \frac{\part x}{\part z} \right) \times \left( \vec i \, \frac{\part y}{\part x}+\vec j \, \frac{\part y}{\part y}+\vec k \, \frac{\part y}{\part z} \right) =$

$= (\vec i \cdot 1 +\vec j \cdot 0+\vec k \cdot 0) \times (\vec i \cdot 0+\vec j \cdot 1+\vec k \cdot 0) = \vec i \times \vec j = \vec {k}$

(здесь первый оператор набла действует только на поле x, а второй — только на 'y', что как бы жестко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

$(\vec u x )\times (\vec u y) = x y (\vec u \times \vec u) = x y \vec 0 = \vec {0}$

поскольку здесь x и y легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

$(\nabla ; [\vec u; \vec v]) = (\nabla ; [\stackrel{\downarrow}{\vec u}; \vec v]) + (\nabla ; [\vec u; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = (\vec v ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec u}]) - (\vec u ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = \vec v \cdot \mbox{rot} \, \vec u - \vec u \cdot \mbox{rot} \, \vec v$

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

История

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ $\nabla$ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла^[3].

Существует мнение, что $\nabla$ — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы^[4]. «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа».

Примечания

1. ↑ В других координатах — см. по ссылке чуть ниже.
2. ↑ Эта размерность n, то есть размерность пространства, на поля на (в) котором действует оператор, указывается явно или подразумевается из формулировки соответствующей теории или задачи.
3. ↑ «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
4. ↑ О. В. Мантуров и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Под ред. Л. В. Сабинина. Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.

См. также

• Оператор набла в различных системах координат
• Оператор Лапласа
• Оператор Д’Аламбера