- Математический маятник
-
Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения[1]. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
и не зависит[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.
Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.
При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.
Содержание
Уравнение колебаний маятника
Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где
― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция
― это угол отклонения маятника в момент
от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;
, где
― длина подвеса,
― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:
.
Решения уравнения движения
Гармонические колебания
Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:
где
— амплитуда колебаний маятника,
— начальная фаза колебаний,
— циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями
Нелинейный маятник
Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:
где
— это синус Якоби. Для
он является периодической функцией, при малых
совпадает с обычным тригонометрическим синусом.
Параметр
определяется выражением
где
— энергия маятника в единицах t−2.
Период колебаний нелинейного маятника
где K — эллиптический интеграл первого рода.
Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:
, где
— период малых колебаний,
— максимальный угол отклонения маятника от вертикали.
При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:
.
Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах 1096-1097 Сентябрьского выпуска заметок американского математического общества 2012 г.[3]:
где
-- арифметико-геометрическое среднее числел 1 и
.
Движение по сепаратрисе
Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.
Интересные факты
Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.
- Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
- Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
Примечания
Ссылки
- Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
- Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Динамика
- Дифференциальные уравнения
- Математические модели
- Маятники
Wikimedia Foundation. 2010.