Критерий Эйзенштейна

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического оттенка слова "критерий" (см. ниже).

Формулировка

Пусть $a(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ - многочлен над факториальным кольцом R ($n>0$), и для некоторого неприводимого элемента $p$ выполняются следующие условия:

• $p\not|a_n$,
• $~p~|a_i$ для любого i от 0 до n-1,
• $p^2\not|a_0$.

Тогда многочлен $a(x)$ неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел $\Z$, а F — поле рациональных чисел $\mathbb Q$.

Доказательство

Предположим обратное: $a(x)=f(x)g(x)$, где $f(x)=b_0+b_1x+...+b_kx^k$ и $g(x)=c_0+c_1x+...+c_mx^m$ многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

$a_0=b_0c_0$

По условию $p|a_0$ и R факториально, поэтому либо $p|b_0$ либо $p|c_0$, но не то и другое вместе ввиду того, что $p^2\not|a_0$. Пусть $p|b_0$ и $p\not|c_0$. Все коэффициенты $f(x)$ не могут делиться на $p$, так как иначе бы это было бы верно для $a(x)$. Пусть $i$ — минимальный индекс, для которого $b_i$ не делится на $p$. Отсюда следует:

$a_i=b_ic_0+b_{i-1}c_1+...$

Так как $p|a_i$ и $p|b_j$ для всех $j<i$ то $p|b_ic_0$, но это невозможно, так как по условию $p\not|c_0$ и $p\not|b_i$. Теорема доказана.

Примеры

• Многочлен $x^3+2$ неприводим над $\mathbb Q$, из этого следует невозможность решения задачи об удвоении куба
• Многочлен деления круга $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1$ неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен $f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+{C_p}^1x^{p-2}+...{C_p}^{p-1}$, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на $p$, так как $p|{C_p}^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$, а последний коэффициент ${C_p}^{p-1}=p$ к тому же не делится на $p^2,$ то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
• Многочлен $x^3+4$ над $\mathbb Q$ является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что ...; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это $p=2$, но 4 делится на $2^2$ — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.