Архимедова спираль

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  $\rho = k\phi, \,\!$

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Рис. 1

Повороту прямой на $2\pi$ соответствует смещение a = |BM| = |MA| = $2k\pi$. Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

$\rho = \frac{a}{2\pi}\phi. \,\!$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям $\phi$ соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали $a = 2k\pi$. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора

Площадь $S$ сектора OCM:

$S = \frac{1}{6} \phi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)\,\!$,

  $\left(2 \right)$

где $\rho = OC$, $\rho' = OM$, $\phi = \angle COM$.

При $\rho = 0$, $\rho' = a$, $\phi = 2\pi$, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

$S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1 \,\!$,

где $S'_1$ — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — $a$.

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги $dl$ равен (см. Рис.3):

Рис. 3. Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

$dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}\,\!$,

где $d\rho$ — приращение радиуса $\rho$, при приращении угла $\phi$ на $d\phi$. Для бесконечно малого приращения угла $d\phi$, справедливо:

$dh^2 = \left(\rho d \phi \right)^2 \,\!$.

Поэтому:

$dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \phi^2} \,\!$

так как $\rho = k\phi$ и

$d \rho = k d \phi$

или

$dl = \sqrt{k^2 d \phi^2 + k^2 \phi^2 d \phi^2} \,\!$

$dl = k d \phi \sqrt{1 + \phi^2} \,\!$.

Длина дуги $L$ равна интегралу от $dl$ по $d \phi$ в пределах от $0$ до $\phi$:

$L = \int\limits_{0}^ {\phi} k \sqrt{1 + \phi^2} d \phi \,\!$

$L = \frac{k}{2} \left[ \phi \sqrt{1 + \phi^2} + \ln \left( \phi + \sqrt{1 + \phi^2}\right) \right] \,\!$.