Линейно-квадратичный регулятор

Линейно-квадратичный регулятор (англ. Linear quadratic regulator, LQR) — в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Задача, в которой динамическая система описывается линейными дифференциальными уравнениями, а показатель качества представляет собой квадратичный функционал, называется задачей линейно-квадратичного управления. Широкое распространение получили линейно-квадратичные регуляторы (LQR) и линейно-квадратичные гауссовы регуляторы (LQG).

Случай непрерывных систем

Для непрерывных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

$\dot{x} = Ax + Bu$

с критерием оптимальности

$J = \int\limits_{0}^\infty \left( x^T Q x + u^T R u \right) dt$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать указанный критерий оптимальности. Этот закон управления имеет вид

$u = -R^{-1} B^T P x \,$

где $P$ находится из решения уравнения Риккати

$A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 \,$

Случай дискретных систем

Для дискретных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

$x_{k+1} = A x_k + B u_k \,$

с критерием оптимальности

$J = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k \right)$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать критерий оптимальности:

$u_k = -F x_k \,$

где

$F = \tilde{R}^{-1} B^T P \,$

$\tilde{R} = R + B^T P B$

где $P$ — решение дискретного уравнения Риккати

$P = Q + A^T \left( P - P B \left( R + B^T P B \right)^{-1} B^T P \right) A$

Ссылки

• Линейно-квадратичный регулятор (англ.)