Полная группа

Полная группа ― группа, в которой для любого элемента $g$ и любого целого числа $n$ разрешимо уравнение

$x^n=g.$

Абелева полная группа называется также делимой группой.

Примеры

• Аддитивная группа всех рациональных чисел,
• Квазициклическая группа, то есть группа всех комплексных корней из $1$ степеней $p^k$, $k=1,2,\dots$ где $p$ ― простое число.

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Свойства

• Всякая абелева полная группа разлагается в прямую сумму групп, каждая из которых изоморфна квазициклической группе или группе всех рациональных чисел.
• Полные абелевы группы (и только они) являются инъективными объектами в категории абелевых групп ($\mathbb Z$-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любым кольцом главных идеалов.

О неабелевых полных группах известно значительно меньше.

• Всякая неединичная полная группа бесконечна.
• Всякая группа вложима в подходящую полную группу

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.