Стоячая волна

Стоячая волна (чёрная) изображена в виде суммы двух волн (красная и синяя), распространяющихся в противоположных направлениях. Красные точки обозначают узлы

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе^[1]; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде^[2] и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

• 

  Двумерная стоячая волна на диске. Основная мода

• 

  Высшая гармоника стоячей волны на диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

$u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi)$,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, $u_0$ — амплитуда стоячей волны, $\omega$ — частота , k — волновой вектор, $\varphi$ — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Моды

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую ​​же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

$y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)$

$y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)$

где:

• y₀ — амплитуда волны,
• $\omega$ — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
• k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как $2\pi$ поделённое на длину волны $\lambda$,
• x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y₁ и y₂:

$y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).$

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

$y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).$

Если рассматривать моды $x = 0, \lambda /2, 3\lambda /2,...$ и антимоды $x = \lambda /4, 3\lambda /4, 5\lambda /4,...$, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны $\lambda /2$.

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

$\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}\right )u = 0$

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

$\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 x }{\partial t^2} \right) u = f_0 u$,

где $f_0-$ выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. также

• Фигуры Хладни
• Коэффициент стоячей волны
• Интерференция

Примечания

1. ↑ Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»
2. ↑ или в активной среде

Ссылки

	Стоячая волна на Викискладе?

• Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»