Центрированные полигональные числа

Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что начиная со второго слоя каждый слой k-угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий.

Каждая последовательность может быть представлена как треугольное число, умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Эти серии состоят из

• центрированные треугольные числа 1,4,10,19,31,… последовательность A005448 в OEIS
• центрированные квадратные числа 1,5,13,25,41,… (A001844)
• центрированные пятиугольные числа 1,6,16,31,51,… (A005891)
• центрированные шестиугольные числа 1,7,19,37,61,… (A003215)
• центрированные семиугольные числа 1,8,22,43,71,… (A069099)
• центрированные восьмиугольные числа 1,9,25,49,81,… (A016754)
• центрированные девятиугольные числа 1,10,28,55,91,… (A060544, которые включают все чётные совершенные числа, за исключением 6)
• центрированные десятиугольные числа 1,11,31,61,101,… (A062786)

и так далее.

Следующие диаграммы показывают несколько примеров центрированных полигональных чисел и их геометрическое представление. (Сравните эти фигуры с фигурами в разделе Фигурные числа.)

Центрированные квадратные числа

1		5		13		25
						_                       _                           _

Центрированные шестиугольные числа

1		7		19		37

Как видно из приведенных диаграмм, n-ое центрированное k-угольного число может быть получена размещением k копий (n−1)-ых треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, n-ое центрированное k- угольного числа может быть выражено как

$C_{k,n} =\frac{kn}{2}(n-1)+1.$

Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное k-угольного число есть 1. Поэтому, для любого k, 1 является как k-угольным числом, так и центрированным k-угольным. Следующее число, являющееся как k-угольным, так и центрированным k- угольным, может быть найдено по формуле:

$\frac{k^2}{2}(k-1)+1$

которая показывает, что 10 является как треугольным, так и центрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так и центрированным четырехугольным.

Несмотря на то, что простое число p не может быть фигурным числом (исключая, естественно, случая, когда p является вторым p-угольным числом), многие many центрированные многоугольные числа являются простыми.

Ссылки

• Neil Sloane & Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995): Fig. M3826
• Weisstein, Eric W. Centered polygonal number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Связать^?