Формула Лоренца

Фо́рмула Ло́ренца — Ло́ренца связывает показатель преломления вещества с электронной поляризуемостью частиц (атомов, ионов, молекул), из которых оно состоит. Формулу получили датский физик Людвиг В. Лоренц (дат. Ludvig Valentin Lorenz ) и голландский физик Хендрик А. Лоренц (нидерл. Hendrik Antoon Lorentz) в 1880 году независимо друг от друга^[1].

Если вещество состоит из частиц одного сорта, то формула имеет вид:

$\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3} N \alpha,$

где $n$ — показатель преломления, $N$ — количество частиц в единице объёма, а $\alpha$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент $\alpha$, связывающий напряжённость электрического поля $\boldsymbol E$, действующего на частицу, с дипольным моментом $\boldsymbol p$, образующимся у частицы под действием этого поля:

$\boldsymbol p=\alpha\boldsymbol E.$

Здесь и далее жирным шрифтом выделяются векторные величины.

Формулу записывают также в виде:

$\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}\cdot\frac{M}{\rho} = \frac{4 \pi}{3} N_A \alpha,$

где $M$ — молекулярная масса вещества, $\rho$ — его плотность, а $N_A$ — постоянная Авогадро. При этом величину $\frac{4 \pi}{3} N_A \alpha$ называют молекулярной рефракцией.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями $\alpha_i$ и объёмными концентрациями $N_i$, то формула принимает вид:

$\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3}\left [N_1 \alpha_1+ N_2 \alpha_2+\cdots +N_n \alpha_n\right ].$

Вывод формулы основан на рассмотрении микроскопического поля и его взаимодействия с атомами, молекулами и ионами вещества. При выводе предполагается, что среда является изотропной, а составляющие её частицы собственным дипольным моментом не обладают^[2].

Обсуждение

Воздействие внешнего электромагнитного поля с относительно высокими частотами, соответствующими видимому и УФ-диапазону спектра, приводит к смещению только электронных оболочек относительно атомных ядер, в то время как более массивные частицы (атомы и ионы) за период колебаний поля сместиться с занимаемых ими мест не успевают. Соответственно, в поляризацию среды вносит вклад только электронная поляризация, и показатель преломления оказывается связан с электронной поляризуемостью частиц формулой Лоренца — Лоренца.

При более низких частотах колебаний поля атомы и ионы успевают смещаться под действием поля, и поэтому вносят свой вклад в общую поляризацию. В результате становится необходимым, помимо электронной поляризуемости, учитывать атомную и ионную поляризуемости. Аналогом формулы Лоренца — Лоренца для постоянных полей является^[3] формула Клаузиуса — Моссотти, описывающая связь диэлектрической проницаемости вещества с поляризуемостями составляющих его частиц:

$\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \cdot \frac{M}{\rho} = \frac{4\pi}{3} N_A \alpha.$

В полярных диэлектриках частицы среды обладают собственным дипольным моментом, то есть таким, который они имеют и в отсутствие внешнего электрического поля. Непосредственное применение формулы Лоренца — Лоренца в её обычном виде в таких случаях невозможно. Дальнейшим развитием формулы Лоренца — Лоренца, пригодным в том числе и для случая полярных диэлектриков (но для относительно низких частот колебаний поля), стала формула формула Ланжевена — Дебая^[4].

Формула Лоренца — Лоренца лежит в основе структурной рефрактометрии. Она широко используется при изучении и контроле составов различных веществ, для исследования их строения и превращений, происходящих в результате протекания химических реакций^[5][6].

Классическая теория дисперсии

Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении^[2][7]. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой $\omega_0$. В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь^[8], уравнение колебаний имеет вид:

$\ddot \boldsymbol r + \omega_0^2 \boldsymbol r = \frac{e}{m}\boldsymbol E(t),$

где $\boldsymbol r$ — смещение электрона из положения равновесия, $e$ и $m$ — заряд и масса электрона соответственно, а $\boldsymbol E(t)$ — напряжённость электрического поля.

В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой $\omega$, сначала получается зависимость $\boldsymbol r(t)$, а затем и поляризуемость $\alpha$:

$\alpha= \frac{ e^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}.$

После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:

$\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}.$

Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами $\omega_{0i}$. В таком случае дисперсионная формула принимает вид:

$\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m} \sum_i \frac{ f_i}{\omega_{0i}^2-\omega^2},$

где $f_i$ — безразмерные коэффициенты (силы осцилляторов), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу $\sum_i f_i=1$.

История

Хендрик А. Лоренц

Людвиг. В. Лоренц

Статьи Людвига В. Лоренца^[9] и Хендрика А. Лоренца^[10] с сообщениями о получении формулы были опубликованы практически одновременно в 1880 году. М. Борн и Э. Вольф такое одновременное получение результата учёными с почти одинаковыми (в оригинальном написании) фамилиями называют «удивительным совпадением»^[2].

Сам Хендрик Лоренц в своей книге писал так: «…этот результат был найден Лоренцом в Копенгагене за несколько времени до того, как я вывел его из электромагнитной теории света, что, конечно, является любопытным случаем совпадения»^[11].

Хотя Хендрик А. Лоренц не был тем, кто первым вывел формулу, и на эту роль не претендовал, в её наименовании, обычно употребляемом в англоязычной литературе, его имя стоит в начале: «Lorentz — Lorenz equation», «Lorentz — Lorenz formula» или «Lorentz — Lorenz relation».

Ранее, до того, как в русской научно-технической литературе сложилась общепринятая традиция, использовались различные варианты наименования формулы, включая такие, как формула «Лоренц — Лоренца», «Лоренц — Лорентца», «Лорентц — Лоренца» и «Лорентца — Лоренца».

В своё время значение формулы Лоренца — Лоренца не исчерпывалось только тем, что она дала возможность количественного описания формирования значения показателя преломления веществ. Как писали М. Борн и Э. Вольф, «…она служит мостом, связывающим феноменологическую теорию Максвелла с теорией атомного строения вещества»^[2].

Несмотря на солидный «возраст», формулу Лоренца — Лоренца в настоящее время не только достаточно широко применяют, но и продолжают развивать, расширяя возможности её использования^[12].

Примечания

1. ↑ Лоренца — Лоренца формула. Статья в Физической энциклопедии.
2. ↑ ^{1 2 3 4} Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Изд. 2-е. — М.: «Наука», 1973. — 720 с. — 20 000 экз.
3. ↑ Клаузиуса — Моссотти формула. Статья в Физической энциклопедии.
4. ↑ Ланжевена — Дебая формула. Статья в Физическом энциклопедическом словаре.
5. ↑ Бацанов С. С. Структурная рефрактометрия. Изд. 2-е. — М.: «Высшая школа», 1976. — 304 с.
6. ↑ Иоффе Б. В. Рефрактометрические методы химии. — Л.: «Химия», Ленинградское отделение, 1983. — 350 с.
7. ↑ Бутиков Е. И. Оптика. — 2-е изд., перераб. и доп.. — СПб.: Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2003. — 480 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-94157-380-4
8. ↑ Затухание мало, если частота света существенно отличается от частот, на которых располагаются линии поглощения вещества.
9. ↑ L. Lorenz. "Über die Refractionsconstante, " Ann. Phys. 1880. V. 11, 70—103.
10. ↑ H. A. Lorentz, Über die Beziehung zwischen der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes und der Körperdichte. Ann. Phys. 1880. V. 9, 641—665.
11. ↑ Лорентц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — С. 215. — 472 с. — (Классики естествознания). — 5 000 экз.
12. ↑ Mário G. Silveirinha. Generalized Lorentz-Lorenz formulas for microstructured materials. Phys. Rev. B. 2007, Vol.76, Issue 24, 245117, 17 December 2007.