Тест Хаусмана

Тест Хаусмана, называемый также тестом Ву-Хаусмана или Дарбина-Ву-Хаусмана - применяемый в эконометрике тест для сравнения моделей, оцененных разными методами, один из которых позволяет получить состоятельные оценки и при нулевой и при альтернативной гипотезе, а другой - только при нулевой гипотезе.

В частности, тест позволяет сравнить оценки метода наименьших квадратов и метода инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что факторы модели экзогенны, альтернатива - что эндогенны. В обоих случаях метод инструментальных переменных дает состоятельные оценки (инструменты по определению предполагаются экзогенными). А метод наименьших квадратов дает состоятельные оценки только при экзогенности факторов. Таким образом, если нулевая гипотеза выполнена, то оценки разных методов асимптотически эквиваленты, в противном случае различия между ними будут значимыми. Тем самым тест позволяет оценить экзогенность факторов модели.

Описание теста

Пусть имеются оценки линейной модели методом наименьших квадратов и методом инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что обе оценки состоятельны. Это означает, что факторы модели являются экзогенными. Статистика теста равна

$(\hat {b}_{IV}-\hat {b}_{OLS})^T (\hat {V}_{\hat b_{IV}}-\hat V_{\hat b_{OLS}})^{-1}(\hat b_{IV}-\hat b_{OLS})$

Данная статистика имеет асимптотическое распределение Хи-квадрат с количеством степеней свободы, равным рангу матрицы $\hat {V}_{\hat b_{IV}}-\hat V_{\hat b_{OLS}}$, где

$\hat V_{\hat b_{OLS}}=s^2(X^TX)^{-1}~,~\hat {V}_{\hat b_{IV}}=s^2(X^TP_ZX)^{-1}~,~P_Z=Z(Z^TZ)^{-1}Z^T~,~ s^2=ESS/(n-k)$.

Если статистика превышает критическое значение, регрессоры модели нельзя считать экзогенными, поэтому лучше использовать метод инструментальных переменных. В противном случае можно считать, что регрессоры не хуже инструментов и применять обычный МНК.

Иногда используется следующий вариант теста. На первом шаге оценивается МНК-регрессия факторов на инструменты. На втором шаге оценивается (также с помощью МНК) регрессия объясняемой переменной на исходные факторы и оценки этих факторов, полученных на первом шаге (или остатки регрессий, полученных на первом шаге). Если коэффициенты при дополнительных переменных совместно значимы (проверяется стандартными тестами - тест Вальда, F-тест, t-статистики), то регрессоры являются эндогенными.

См. также

• Экзогенность
• Метод инструментальных переменных