Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент сферического оператора операторов в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.^[1]

Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:

$\langle jm|T^k_q|j'm'\rangle =\langle j||T^k||j'\rangle C^{jm}_{kqj'm'}$

где $T^k_q$ сферический тензор ранга $\!k$, $|jm\rangle$ и $|j'm'\rangle$ есть собственные функции полного углового момента $\!J^2$ и его z-компоненты $\!J_z$, $\langle j||T^k||j'\rangle$ не зависит от $\!m$ и $\!q$, и $C^{jm}_{kqj'm'}=\langle j'm';kq|jm \rangle$ коэффициенты Клебша — Гордана сложения $\!j'$ и $\!k$ для получения $\!j$.

Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга $\!k$ на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом $\!k$ к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.

Пример

Рассмотрим среднее значение координаты $\langle njm|x|njm\rangle$. Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность.)

Известно, что $\!x$ — одна из компонент вектора $\vec r$. Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом $\!x$ является некоторой линейной комбинацией $T^1_q$, где $\!q=-1,0,1$. Можно показать, что $x=\frac{T_{-1}^{1}-T^1_1}{\sqrt{2}}$, где сферические тензоры^[2] определены таким образом: $T^1_{0}=z$ и $T^1_{\pm1}=\mp (x \pm i y)/{\sqrt{2}}$ (знаки должны быть выбраны согласно определению^[3] сферического тензора ранга $k$. Следовательно, $T^1_{q}$ пропорциональны только лестничным операторам). Поэтому

$\langle njm|x|n'j'm'\rangle = \langle njm|\frac{T_{-1}^{1}-T^1_1}{\sqrt{2}}|n'j'm'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle nj||T^1||n'j'\rangle (C^{jm}_{1(-1)j'm'}-C^{jm}_{11j'm'})$

Выражения выше дают нам матричные элементы для $x$ в базисе $|njm\rangle$. Чтобы найти среднее значение, положим $n'=n$, $j'=j$, и $m'=m$. Правила отбора для $m'$ и $m$ таковы: $m\pm1=m'$ для сферических тензоров $T_{\mp1}^{(1)}$. Как только $m'=m$, коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.

Примечания

1. ↑ Eckart Biography- The National Academies Press
2. ↑ J. J. Sakurai: «Modern quantum mechanics» (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley)
3. ↑ J. J. Sakurai: «Modern quantum mechanics» (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley)

Ссылки

• J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
• Weisstein, Eric W. Wigner–Eckart theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner-Eckart theorem
• Tensor Operators