Стохастическая финансовая математика

Стохастическая финансовая математика - раздел прикладной математики, посвященный исследованию финансовых рынков с использованием аппарата стохастического исчисления. Основная прикладная задача стохастической финансовой математики - определение справедливой стоимости финансовых инструментов.

История и развитие

Финансовые расчеты и применение финансовых деривативов имеет долгую историю. Первый широко освещенный случай применения деривативов - это спор Фалеса Милетского со скептиками, утверждавшими, что философия бесполезна в бытовых делах. С финансовой точки зрения, философ приобрел колл-опцион на фьючерс на урожай маслин, т.е. воспользовался производным финансовым инструментом второго порядка.

В то же время, определение справедливой стоимости такой сделки было невозможным вплоть до XX века. Ряд наработок был сделан и раньшe^[1], но первая полноценная формула для стоимости опционов была получена еще в 1900 году математиком Башелье^[2]. Она была построена на модели номального блуждания цен базисного актива.

Исторической вехой стало появление формулы Блэка-Шоулса для оценки стоимости опционов на бездивидендные акции в 1973 году. Основным ее преимуществом перед моделью Башелье стало применение логнормальной модели изменения стоимости базисного актива^[3]

Далее, в 1974 году, Роберт Мертон предложил подход к моделированию стоимости корпорации, основанный на идее о том, что акция является опционом колл на активы компании со сроком действия, равным дюрации задолженности компании. Тем самым были заложены основы структурного подхода к оценке кредитного риска.

В 1977 Олдрич Васичек предложил свою знаменитую модель, описывающую поведение процентной ставки как стохастического процесса. В течение следующих 15 лет данный подход был основным, дальнейшие разработки лишь уточняли вид этого процесса или увеличивали количество параметров в модели.

В 1979 была Коксом, Россом и Рубинштейном была формализована биномиальная модель оценки стоимости опционов. Данная модель имеет ряд неоспоримых преимуществ:

• Исключительная простота как в части описания, так и в части вычислений;
• Возможность оценки достаточно сложных финансовых инструментов для которых формула Блэка-Шоулза не применима (как обычных, так и экзотических опционов, и, том числе американских опционов);
• Релевантность более сложным моделям, поскольку при уменьшении шага по времени биномиальная модель сходится к моделям с непрерывным временем.

В 1986 году Хо и Ли предложили калибрацию и подгонку моделей процентных ставок к рыночным кривым доходности, что позволило расширить область практического применения моделирования процентных ставок.

Основные концепции

Дискретное и непрерывное время

Риск-нейтральная и реальная мера

Основные направления

Валюта, акции и товары

Процентные ставки

Инструменты управления кредитным риском

Структурный подход

Частотный подход

Сложные деривативы

Моделирование волатильности

Моделирование корреляций

Связанные направления (в финансах, математике и физике)

Критика и дальнейшее развитие

Примечания

1. ↑ http://ww.e-m-h.org/Girlich02.pdf
2. ↑ http://www.im.pwr.wroc.pl/~hugo/publ/MMagdzarzSOrzelAWeron_JSTAT.PHYS_2011.pdf
3. ↑ http://www.mat.univie.ac.at/~schachermayer/preprnts/prpr0121.pdf

Литература

• Justin London Modeling Derivatives in C++. — en:Wiley Publishing, 2005. — 840 с. — (Wiley Finance). — ISBN 0-471-65464-7