Постоянная Глейшера

Постоя́нная Глейшера—Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана $\zeta'(-1)$,

$A = \exp\left({\textstyle{\frac{1}{12}}} - \zeta'(-1)\right)$.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера—Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью^[1][2]

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах^[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

$K(n)=\prod_{k=1}^{n-1} k^k$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

$G(n)=\prod_{k=1}^{n-2}k!=\frac{\left[\Gamma(n)\right]^{n-1}}{K(n)}$

где $\Gamma(n)$ — гамма-функция, $\Gamma(n)=(n-1)!$.

Постоянная Глейшера—Кинкелина A может быть определена как предел^[5]

$A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}$

или, соответственно,

$A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(2\pi)^{n/2} n^{n^2/2-1/12} e^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера—Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента^[5][6], в частности,

$\zeta^{\prime}(-1)={\textstyle{\frac{1}{12}}}-\ln A$

$\zeta^{\prime}(2) = - \sum_{k=2}^\infty \frac{\ln k}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\left[\gamma+\ln(2\pi)-12\ln A \right]$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера—Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах^[5],

$\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x)\; {\rm d}x={\textstyle{\frac{3}{2}}} \ln A+{\textstyle{\frac{5}{24}}} \ln 2+{\textstyle{\frac{1}{4}}} \ln \pi$,

$\int_0^\infty \frac{x \ln x}{e^{2 \pi x}-1}\; {\rm d}x={\textstyle{\frac{1}{2}}} \zeta^{\prime}(-1)={\textstyle{\frac{1}{24}}}-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln A$

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы^[7][8], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе^[de] (Helmut Hasse),

$\ln A={\textstyle{\frac{1}{8}}}-{\textstyle{\frac{1}{2}}} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} \left(k+1\right)^2 \ln(k+1)$,

где ${\textstyle{\binom{n}{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$ — биномиальный коэффициент.

Примечания

1. ↑ Fredrik Johansson et al. 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant A = exp(1/12 - zeta'(-1))  (англ.) (HTML). mpmath.googlecode.com. Архивировано из первоисточника 31 октября 2012. Проверено 11 сентября 2012.
2. ↑ A074962 — Decimal expansion of Glaisher-Kinkelin constant A  (англ.) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Архивировано из первоисточника 31 октября 2012. Проверено 11 сентября 2012.
3. ↑ Hermann Kinkelin, "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung", Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138
4. ↑ J. W. L. Glaisher, "On the Product 1¹.2².3³...nⁿ", The Messenger of Mathematics 7, 1878, p. 43–47
5. ↑ ^{1 2 3} Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
6. ↑ Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
7. ↑ Jesus Guillera and Jonathan Sondow (2005), "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent", arΧiv:math.NT/0506319 
8. ↑ Jesus Guillera and Jonathan Sondow (2008). «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent». Ramanujan Journal 16: 247–270. DOI:10.1007/s11139-007-9102-0.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.