Линейность по параметрам

Линейность по параметрам — свойство эконометрических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель $g_0(y)=f(x,b)+\varepsilon$ называется линейной по параметрам если функция регрессии f(x, b) обладает свойством:

$\forall j~~\frac {\partial f } {\partial b_j}=g_j(x)$

где $g_0, g_j$ — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

$f(x,b)=\sum^k_{j=1} b_j g_j(x)+\varepsilon$

Если обозначить $z_0=g_0(y)~,~z_j=g_j(x)$, то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

$z_0=\sum^k_{j=1} b_j z_j+\varepsilon$

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приемы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба-Дугласа):

$y=A K^{\alpha} L^{\beta} \nu$

где $\nu$ — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение получим линейную по параметрам модель:

$\ln y =\ln A +\alpha \ln K +\beta \ln L + \ln \nu=a+\alpha \ln K +\beta \ln L + \varepsilon$

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель $y=A K^{\alpha} L^{\beta} +\varepsilon$ линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Полиномиальная модель

$y=\sum^k_{j=0} b_j x^j + \varepsilon$

Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.

Логарифмическая регрессия

$\ln y =\sum^k_{j=1} b_j \ln x_j + \varepsilon$

Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.

Обратная линейная модель

$\frac {1} {y} = \sum^k_{j=0} b_j \frac {1}{x_j}+\varepsilon$

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.