Веер Кнастера

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером (польск.) и Куратовским^[1]

Конструкция

Рассмотрим квадрат с центром в начале координат. На одной из сторон квадрата выделим канторово множество $C$. Разобьём $C$ на два подмножества $A$ и $B$ таких, что замыкание каждого совпадает с $C$ (например, можно взять $A$ и $B$ соответственно подмножество рациональных и иррациональных точек в $C$). Веер Кнастера — Куратовского состоит из всех точек вида $q\cdot c\in \mathbb R^2$ где $c\in C$ и $q\in [0,1]$ таких, что $q$ рационально, если $c\in A$ и $q$ иррационально, если $c\in B$.

Литература

1. ↑ B. Knaster, C. Kuratowski, Sur les ensembles connexes, Fund. Math., 2 (1921) pp. 206—255.

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.