Вариационный метод

Вариационный метод

Вариационный метод - метод решения математических задач с помощью минимизации определенного функционала, используя пробную функцию, которая зависит от небольшого количества параметров .

Квантовая механика

Состояние квантовомеханической системы определяется волновой функцией, которая находится из стационарного уравнения Шредингера

 \hat{H}\psi = E\psi ,

где  \hat{H} - гамильтониан системы.

В общем случае большого числа частиц (три в квантовой механике частицы уже много) решить уравнение Шредингера аналитически и даже численно[источник не указан 107 дней], не используя дополнительных приближений, невозможно.

Функционал

 \langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle  = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau,

где интегрирование проводится по всему координатном пространства , а ψ -произвольная функция всех переменных системы, имеет минимальное значение при определенной функции  \psi_0 , которая отвечает основному состоянию системы и является решением уравнения Шредингера.

Вариационный метод заключается в том, чтобы использовать для решения какую-то пробную функцию переменных системы \phi(\lambda_i) \,, зависящую от нескольких параметров  \lambda_i, которая удовлетворяла бы условию нормировки

 \langle \phi|\phi \rangle = 1 .

В таком случае

 \Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i)  \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau  - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i) d\tau

является функцией (уже не функционалом) от параметров \lambda_i и дополнительного параметра E. Минимум этого функционала по всем параметрам \lambda_i определяет приближение к энергии основного состояния системы. Этот минимум находят из системы уравнений

 \frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0,


учитывая условие нормировки, или любым другим способом минимизации.

Вариационный метод дает лучшее приближение к энергии основного состояния для данной формы пробной функции. При удачно выбранной пробной функции это приближение может быть достаточно точным, незначительно отличаясь от того, что наблюдается на эксперименте. Удачно выбранная пробная функция позволяет также делать качественные выводы о поведении квантовомеханической системы.

Выбор пробной функции является определенным искусством. Обычно при этом опираются на определенные физические представления о поведении системы. Увеличение числа параметров в пробной функции позволяет улучшить результат, но усложняет задачу, а иногда может привести к отысканию ложного локального минимума .




Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Вариационный метод" в других словарях:

  • вариационный метод — Метод решения краевых задач математич. физики, сводящиеся к минимизации функционалов — скалярных перем. величин, завис, от выбора одной или неск. ф ций. При решении задач обработки давлением использ. принципы виртуальных скоростей и… …   Справочник технического переводчика

  • ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД — в квантовой химии, метод приближенного решения ур ния Шрёдингера для квантовой системы (атома, молекулы, кристалла). По своей идее близок к мат. методу оценки нек рой величины из условия максимума или минимума определенной ф ции (напр., методу… …   Химическая энциклопедия

  • вариационный метод — variacinis metodas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. variational method vok. Variationsmethode, f rus. вариационный метод, m; метод вариации, m pranc. méthode des variations, f …   Automatikos terminų žodynas

  • вариационный метод — variacinis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. variational method vok. Variationsmethode, f; Variationsverfahren, n rus. вариационный метод, m pranc. méthode des variations, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Вариационный метод анализа чувствительности радиоэлектронной схемы — Метод редукции 41. Вариационный метод анализа чувствительности радиоэлектронной схемы Метод вычисления коэффициентов чувствительности выходных параметров функционалов, основанный на решении уравнений математической модели радиоэлектронной схемы и …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • вариационный метод Релея-Ритца — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Rayleigh Ritz method …   Справочник технического переводчика

  • Вариационный принцип Хартри-Фока-Боголюбова — Метод Хартри Фока Боголюбова вариационный метод в квантовой теории многих частиц, являющийся обобщением метода Хартри  Фока, в котором учитываются волновые функции пар частиц. Активно применяется в теории атомных ядер и теории сверхпроводимости.… …   Википедия

  • Метод Хартри — Фока — Боголюбова — вариационный метод в квантовой теории многих частиц, являющийся обобщением метода Хартри  Фока, в котором учитываются волновые функции пар частиц. Активно применяется в теории атомных ядер и теории сверхпроводимости. Вариационный метод… …   Википедия

  • Метод Хартри-Фока-Боголюбова — вариационный метод в квантовой теории многих частиц, являющийся обобщением метода Хартри  Фока, в котором учитываются волновые функции пар частиц. Активно применяется в теории атомных ядер и теории сверхпроводимости. Вариационный метод Хартри … …   Википедия

  • Метод Хартри Фока Боголюбова — вариационный метод в квантовой теории многих частиц, являющийся обобщением метода Хартри  Фока, в котором учитываются волновые функции пар частиц. Активно применяется в теории атомных ядер и теории сверхпроводимости. Вариационный метод Хартри … …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»