Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд $\sum_{n=1}^\infty x_n$ в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки $\sigma: \N \to \N$ ряд $\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}$ является сходящимся.

Свойства

• Если ряд $\sum_{n=1}^\infty x_n$ является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент $x \in X,$ такой, что $\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} = x,$ для произвольной перестановки $\sigma: \N \to \N.$
• Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rⁿ, тогда вследствие теоремы Римана, ряд $\sum x_n$ является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
• Если $\{x_n\}\,$ последовательность элементов гильбертового пространства H, то из безусловной сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty x_n$ следует $\sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 < \infty.$

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

• для произвольной последовательности $(\varepsilon_n)_{n=1}^\infty$, где $\varepsilon_n\in\{-1, +1\}$, ряд $\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $(\alpha_n)_{n=1}^\infty$, такой, что $\sup_n |\alpha_n| < \infty$, ряд $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $1 \leq k_1 < k_2 < \ldots$, ряд $\sum_{n=1}^\infty x_{k_n}$ является сходящимся.
• для произвольного $\epsilon > 0$ существует конечное подмножество $I \subset \N,$ такое, что $\lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, < \epsilon$ для произвольного конечного подмножества $J \subset \N \setminus I$

Пример

Пусть дано пространство $l^p\,,$ где $1 \leqslant p < \infty$ — банахово пространство числовых последовательностей с нормой $\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$. Рассмотрим в нём последовательность $x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots),$ где ненулевое значение стоит на n-му месте. Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}$ является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

• Абсолютная сходимость
• Условная сходимость

Ссылки

• Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer  (англ.)
• Безусловная сходимость (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции), К.: Радянська Школа, 1948.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .