- Безусловная сходимость
-
В математическом анализе, ряд
в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки
ряд
является сходящимся.
Содержание
Свойства
- Если ряд
является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент
такой, что
для произвольной перестановки
- Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rn, тогда вследствие теоремы Римана, ряд
является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
- Если
последовательность элементов гильбертового пространства H, то из безусловной сходимости ряда
следует
Эквивалентные определения
Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:
- для произвольной последовательности
, где
, ряд
является сходящимся.
- для произвольной последовательности
, такой, что
, ряд
является сходящимся.
- для произвольной последовательности
, ряд
является сходящимся.
- для произвольного
существует конечное подмножество
такое, что
для произвольного конечного подмножества
Пример
Пусть дано пространство
где
— банахово пространство числовых последовательностей с нормой
. Рассмотрим в нём последовательность
где ненулевое значение стоит на n-му месте. Тогда ряд
является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.
См. также
Ссылки
- Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств
- Christopher Heil. A Basis Theory Primer (англ.)
- Безусловная сходимость (англ.) на сайте PlanetMath.
Литература
- Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции), К.: Радянська Школа, 1948.
- Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
- Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
- P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .
Категория:- Функциональный анализ
- Если ряд
Wikimedia Foundation. 2010.