Безусловная сходимость

Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд \sum_{n=1}^\infty x_n в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки \sigma: \N \to \N ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} является сходящимся.

Содержание

Свойства

  • Если ряд \sum_{n=1}^\infty x_n является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент x \in X, такой, что \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} = x, для произвольной перестановки \sigma: \N \to \N.
  • Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rn, тогда вследствие теоремы Римана, ряд \sum x_n является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
  • Если \{x_n\}\, последовательность элементов гильбертового пространства H, то из безусловной сходимости ряда \sum_{n=1}^\infty x_n следует \sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 < \infty.

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

  • для произвольной последовательности (\varepsilon_n)_{n=1}^\infty, где \varepsilon_n\in\{-1, +1\}, ряд \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n является сходящимся.
  • для произвольной последовательности (\alpha_n)_{n=1}^\infty, такой, что \sup_n  |\alpha_n| < \infty, ряд \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n является сходящимся.
  • для произвольной последовательности 1 \leq k_1 < k_2 < \ldots , ряд \sum_{n=1}^\infty x_{k_n} является сходящимся.
  • для произвольного \epsilon > 0 существует конечное подмножество I \subset \N, такое, что \lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, < \epsilon для произвольного конечного подмножества J \subset \N \setminus I

Пример

Пусть дано пространство l^p\,, где 1 \leqslant p < \infty — банахово пространство числовых последовательностей с нормой  \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}. Рассмотрим в нём последовательность x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots), где ненулевое значение стоит на n-му месте. Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

Ссылки

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Безусловная сходимость" в других словарях:

  • БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ — свойство ряда сходиться при любой перестановке его членов. Точнее, ряд из элементов линейного пространства Е, в к ром определено понятие сходящейся последовательности, наз. безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке его членов …   Математическая энциклопедия

  • БЕЗУСЛОВНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ — суммируемость ряда при любой перестановке его членов. Ряд наз. безусловно суммируемым нек рым методом суммирования А(безусловно A суммируемым), если он суммируем этим методом к сумме s при любой перестановке его членов, где s может зависеть от… …   Математическая энциклопедия

  • Абсолютная сходимость — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе  сходящимся условно. Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он… …   Википедия

  • Условная сходимость — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но . Содержание …   Википедия

  • БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд вида где ортонормированная система функций (онс) относительно меры : Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»