Уравнения Дена

Уравнения Дена — Сомервиля полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

Формулировка

Для даного простого $n$-мерного многогранника $P$ обозначим через $f_k$ количество граней $P$ размерности $k$, в частности $f_n=1$. Рассмотрим формальную сумму

$\sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k$

тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

$h_k=h_{n-k}$

для каждого целого $k$.

Связанные определения

• Последовательность $(f_0,f_1,\dots,f_n)$ называется f-вектор многогранника.
• Последовательность $(h_0,h_1,\dots,h_n)$ называется h-вектор многогранника.

История

В размерности 4 и 5, соотношения были описаны Деном (англ.)^[1]. В общем случае уравнения были описаны Сомервилем (англ.) в 1927.

Литература

1. ↑ M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561-586