BNAM

Эта страница требует существенной переработки. Возможно, её необходимо викифицировать, дополнить или переписать. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К улучшению/13 мая 2012. Дата постановки к улучшению — 13 мая 2012.

BNAM заключаются в том, что область пространства, в которой ищется решение краевой задачи для дифференциального уравнения разбивается на подобласти (RB) такие, что для каждой из этих подобластей можно построить численно-аналитический блок (NAB), который содержит следующие элементы:

1. Описание геометрии RB с помощью аналитических формул или массивов граничных точек.
2. Дифференциальное уравнение, для которого ищется решение краевой задачи, или его удовлетворительная аппроксимация в RB.
3. Граничные условия на границе RB, позволяющие в дальнейшем склеивать решения исходного уравнения в смежных RB.
4. Аналитические или численные методы, позволяющие находить решения дифференциального уравнения в RB, решать краевые задачи в RB.
5. Численно-аналитические методы, позволяющие строить склейщик — оператор, устанавливающий связи между значениями решения, производными решения на границе RB и позволяющий связывать решения в смежных RB.
6. Ряд модельных задач, иллюстрирующих точность связей в каждом RB и точность склейки на границах смежных RB.
7. Вспомогательные данные, формулы, свойства решений, априорные оценки, помогающие применить методы решения, склейку, доказывающие достаточную точность.

Очевидно, что если два NAB имеют смежную границу их RB, то можно объединять эти NAB, получая новый NAB в более широкой RB.

Классифицируя каждый NAB по области прикладных задач, в которых он применяется, по гладкости полученных решений, по форме представления решений можно создать библиотеки NAB. Расширяя библиотеки возможно использовать ранее созданные NAB для ускорения решения прикладных задач и проектирования.

Примерами BNAM являются: СЭМ — метод стандартных элементов, СЭМФ — метод стандартных элементов на базе рядов Фурье, МВФ — метод вспомогательных функций. Все они отличаются, в основном, классом задач к которым они применимы, способами построения склейщика, гладкостью решения и формой представления решения. Многочисленные проверки BNAM на решениях модельных полевых задач, которые имеют точное аналитическое решение [1-4], сравнения с другими известными численными методами [1-6] показали, что BNAM обладают повышенной точностью при меньших вычислительных затратах. Особенно хорошие результаты получились при рассмотрении задач в областях с нестандартной границей. Так в [7] рассматривалась задача расчёта поля тока в области граница которой содержит внутренний угол превышающий π. При использовании известных численных методов (МКЭ, МКР) для получения достаточной точности требовались дополнительные построения и использование аналитического решения [8-10]. Метод СЭМФ в этой задаче использовался без всяких изменений и дал высокую точность.

Особенно сложным случаем является расчет поля в мелкозернистой среде или в среде содержащей наночастицы. В этом случае коэффициенты уравнений, описывающих поле в среде, быстро осциллируют и решение таких задач невозможно. Даже в случае, когда возможны осреднения свойств среды, численные расчёты встречаются с большими трудностями, например [10-14].

В случае, когда осреднение не возможно по физическим причинам, но частиц много, они не однородны и различны по форме, то для численных расчётов можно применять только BNAM. Дополнительную информацию о свойствах BNAM и их возможностях можно получить на сайте [15].

Примечания

Литература

1. Пашковский В.  И.  Новый метод расчёта электромагнитных полей в мелкозернистых и сплошных средах. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17,№ 2, с. 345—353
2. Пашковский, В.  И.  Комбинированные методы и их приложения к задачам электромеханики/ Изв. вузов. Электромеханика.  1986. № 9.   C. 5-10.
3. Пашковский, В.  И.  Решение полевых задач электромеханики комбинированными методами в сочетании с методом связанных операторов. Изв. вузов. Электромеханика.  1988. № 1. C. 5-9.
4. Пашковский В.  И.  Методические указания к курсовому и дипломному проектированию по теме «Решение полевых задач методом стандартных элементов». ЮГРТ (НПИ). Новочеркасск. 1990
5. Пашковский, А. В., Пашковская, И.  В.  Прямоугольный стандартный элемент в моделировании температурных и электромагнитных полейв кусочно-однородных средах. Изв. вузов. Электромеханика.  2003.  № 3. C. 9-12.
6. Пашковский, А. В., Пашковская, И. В. «Склеенные» прямоугольные стандартные элементы в решении модельной полевой задачи. Изв. вузов. Электромеханика. 2007.  № 1. C. 78-80
7. Пашковский, А. В. МСЭФ в решении задач магнитостатики при особенностях в окрестностях угловых точек. Научно-технические ведомости СПбГПУ.  2010.  № 1.  C. 18-22.
8. Марчук Г. И., Шайдуров В.  В.  Повышение точности решений разностных схем. М. Наука 1979. 320с.
9. Бахвалов Ю. А., Бондаренко А.  И.  Учёт особенностей в окрестности угловых точек при расчёте электростатических полей методом конечных элементов.
10. Электромеханика. 1982. № 10, с. 1139—1140 (Известия высших учебных заведений).
11. Бахвалов Н.  С.  Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами.
12. Докл. АН СССР, 1975, т. 221, № 3, с. 516—519
13. Babuska J. Homogeneization approach in Enginiring/-Colloguim JRJA. Dec.,1975
14. Liargi D., Spagnolo L.  — Boll. Unione math Ital., 1973, 8, p. 391—411.
15. Лионс Ж.  Л.  Замечания по некоторым аспектам гомогенизации в композитных материалах. Вычислительные методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении. М. . Наука, 1978,с. 5-19.
16. Олейник О. А., Жиков В. В., Козлов С.  М.  Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов. Успехи мат. наук, 1975, т. 5, с. 65-133.

Ссылки

• BNAMapl
• https://sites.google.com/site/bnamapl/home